Ayuda con la integral $\int_{0}^{\infty}\log\left(1+\frac{s^{2}}{4\pi^{2}} \log(1+ix)\right ) e^{-2\pi nx}dx$

Question

Tenemos la integral:

$$\int_{0}^{\infty}\log\left(1+\frac{s^{2}}{4\pi^{2}} \log(1+ix)\right ) e^{-2\pi nx}dx$$

Donde $s$ es un parámetro complejo, y $n$ es un número entero positivo. La integral converge en virtud el factor exponencial. He tratado de deformar el camino de la integración tal que evitemos el cut(s) rama del logaritmo. Pero aquí es donde me pegué, el interno complejo $\log$ hace confuso hacerlo!

EDITAR

El integral es equivalente a: $$\frac{1}{2\pi n}\int_{0}^{\infty}\frac{e^{2\pi i nx}}{(1+x)\left(\frac{4\pi^{2}}{s^{2}}+\log(1+x) \right )}dx$$ ajuste $y=\log(1+x)$, también es equivalente a: $$\frac{1}{2\pi n}\int_{0}^{\infty}\frac{\exp[{2\pi i n \left(e^{y}-1 \right )]}}{\left(\frac{4\pi^{2}}{s^{2}}+y \right )}dy$ $

Answer 1

Yo no soy capaz de comentar debido a la falta de reputación, pero me las arreglé para dividir el imaginario y real de los componentes (que es algo que parece interesado en):

$$ \int^\infty_0 \frac{1}{2}\log\left(\left(1+\frac{s^2\log\left(x^2+1\right)}{8\pi^2}\right)^2+\frac{s^4\arctan\left(x\right)^2}{16\pi^4}\right)\text{e}^{-2\pi n x}+i\arctan\left(\frac{s^2\arctan\left(x\right)}{4\pi^2\left(1+\frac{s^2\log\left(x^2+1\right)}{8\pi^2}\right)}\right)\text{e}^{-2\pi n x}\,\text{d}x $$

Aunque el término real tendrá algunas imaginario de los componentes después de la integración de las funciones de registro).

Answer 2

A partir de la integral en términos de $y$;

cambio $e^{2\pi in(e^y-1)}$ $e^{2\pi ine^y}e^{-2\pi in}=e^{2\pi ine^y}$ que simplifica un poco.

Luego cambiar las variables $u=y+\frac{4 \pi^2}{s^2}$

Luego cambio de variables v = ln(u)

Obtener la integral en el % de forma $\int_b^{\infty}exp[ce^{e^v}] dv$

¿Hay cualquier teoremas sobre integrales de triple exponenciales?