Teorema fundamental del cálculo cuando el integrando es sólo continuo a la derecha (o a la izquierda)

Question

Considere $f:[a,b]\rightarrow R$ y $F(x)=\int_a^xf(t)dt$ para todos $x\in[a,b]$ .

Si $f$ es continua, entonces el teorema fundamental del cálculo dice que $F'(x)=f(x)$ .

Quiero preguntar si $f$ es simplemente continua a la derecha (o a la izquierda), ¿es cierto que la derivada a la derecha (o a la izquierda) de $F$ es igual a $f$ ? es decir $\partial_+F(x)=f(x)$ (o $\partial_-F(x)=f(x)$ )?

Además, si $f$ tiene límite derecho (o izquierdo) en $x$ ¿es cierto que $\partial_+F(x)=\lim_{t\rightarrow x+}f(t)$ (o $\partial_-F(x)=\lim_{t\rightarrow x-}f(t)$ )?

Answer 1

Supongamos que $f$ es integrable por Riemann en $[a,b]$ de modo que la integral que define $F$ está bien definido (esto es automático si $f$ es continua, pero no necesariamente si $f$ es simplemente continua a la izquierda o a la derecha). En particular, $f$ está acotado en $[a,b]$ (así $|f| \leq M$ para algunos $M > 0$ ).

Dejemos que $x_0 \in [a,b]$ sea un punto en el que el límite derecho $\lim_{x \to x_0^{+}} f(x) = L$ existe. Imitando la demostración habitual del teorema fundamental del cálculo, tenemos

$$ \left| \frac{F(x_0 + h) - F(x_0)}{h} - L\right| = \frac{1}{|h|} \left| \int_{x_0}^{x_0 + h} (f(x) - L) \, dx\right| \leq \frac{1}{|h|} \int_{x_0}^{x_0 + h} |f(x) - L| \, dx. $$

Dejemos que $\varepsilon > 0$ . Al elegir $\delta > 0$ tal que $|f(x) - L| < \varepsilon$ para todos $x_0 < x < x_0 + \delta$ vemos que si $0 < h < \delta$ y $0 < \delta' < \delta$ entonces $|f(x) - L| < \varepsilon$ en $[x_0 + \delta', x_0 + h] \subset (x_0, x_0 + \delta)$ y así

$$ \int_{x_0}^{x_0 + h} |f(x) - L| \, dx = \int_{x_0}^{x_0 + \delta'} |f(x) - L| \, dx + \int_{x_0 + \delta'}^{x_0 + h} |f(x) - L| \, dx \leq $$ $$ \int_{x_0}^{x_0 + \delta'} (M + |L|) \, dx + \int_{x_0 + \delta'}^{x_0 + h} \varepsilon \, dx = \delta'(M + |L| - \varepsilon) + h\varepsilon. $$

Tomando $\delta' \rightarrow 0^{+}$ vemos que

$$ \int_{x_0}^{x_0 + h} |f(x) - L| \, dx \leq h\varepsilon $$

para todos $0 < h < \delta$ y así

$$ \left| \frac{F(x_0 + h) - F(x_0)}{h} - L\right| \leq \frac{1}{h} \int_{x_0}^{x_0 + h} |f(x) - L| \, dx < \varepsilon. $$

Por lo tanto, $F$ es diferenciable por la derecha en $x_0$ y $F'_{+}(x_0) = L$ . La prueba para el límite izquierdo es similar.

Nótese que la principal diferencia entre esta demostración y la demostración estándar del teorema fundamental del cálculo radica en que no podemos garantizar que $|f(x) - L| < \varepsilon$ (où $L = f(x_0)$ ) en $[x_0,x_0+h]$ Sólo en $(x_0,x_0+h]$ pero esto es suficiente ya que la integral es una función continua de su límite inferior (y superior) y así tenemos un paso extra de dividir nuestro intervalo en dos intervalos disjuntos y controlar las expresiones de forma diferente en cada uno de los intervalos (usando la continuidad de la integral y la existencia de un límite derecho).