Por favor, resuelva esta pregunta de relación de recurrencia para $8a_na_{n+1}-16a_{n+1}+2a_n+5=0$

Question

Supongamos que $a_1=1$ y $$8a_na_{n+1}-16a_{n+1}+2a_n+5=0,\forall n\geq1,$$ Por favor, ayude a resolver la forma general de $a_n$ .

Aquí están los primeros valores de la serie. No estoy seguro de que sean útiles, ya que me parecen bastante aleatorios. $$1,{7\over8},{3\over4},{13\over20},{7\over12},\dots$$

Gracias.

Answer 1

Dejemos que $p_n$ , $q_n$ sean dos secuencias a determinar tales que $\displaystyle\;a_n = \frac{p_n}{q_n}\;$ . En términos de $p_n$ , $q_n$ la relación de recurrencia para $a_n$ puede reescribirse como

$$a_{n+1} = \frac{2a_n+5}{-8a_n+16} \quad\iff\quad\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}} = \frac{2p_n+5q_n}{-8p_n+16q_n}\tag{*1} $$ Si escalamos $p_n, q_n$ para que satisfagan la relación de recurrencia lineal

$$\begin{bmatrix}p_{n+1}\\q_{n+1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 & 5\\-8 & 16\end{bmatrix} \begin{bmatrix}p_{n}\\q_{n}\end{bmatrix} \tag{*2} $$ then any solution of $(*2)$ will lead to a solution of $(*1)$. It is easy to check the square matrix in $(*2)$ has eigenvalues $6$ and $12$ with corresponding eigenvectors $\begin{bmatrix}5\\4\end{bmatrix}$ y $\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$ . La solución general solución de $(*2)$ tiene la forma:

$$ \begin{bmatrix}p_{n}\\q_{n}\end{bmatrix} = A \times 6^n \begin{bmatrix}5\\4\end{bmatrix} + B \times 12^n \begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}$$ para unas constantes elegidas adecuadamente $A$ y $B$ . Por inspección, podemos reproducir $a_1 = 1$ al establecer $A = \frac16$ y $B = \frac{1}{12}$ . Esto conduce a una solución de la relación de recurrencia original sujeta a $a_1 = 1$ :

$$a_n = \frac{p_n}{q_n} = \frac{5 \times 6^{n-1} + 12^{n-1}}{4 \times 6^{n-1} + 2\times 12^{n-1}} = \frac{2^{n-1} + 5}{2^n + 4}$$

Answer 2

La secuencia $(a_n)$ es la iteración de una transformación homográfica, de ahí que un teorema que podría estar en tus apuntes diga que, cuando los dos puntos fijos $\omega$ y $\omega'$ de la transformación son diferentes, la secuencia reducida $(b_n)$ definido por $$ b_n=\frac{a_n-\omega'}{a_n-\omega} $$ sigue una simple recursión. Puntos fijos $\omega$ son tales que, si $a_n=\omega$ entonces $a_{n+1}=\omega$ de ahí que pueda identificarlos como $$ \omega=\frac12,\qquad \omega'=\frac54, $$ y le invito a considerar la variable reducida $$ b_n=\frac{4a_n-5}{2a_n-1}, $$ y que nos diga qué es $b_{n+1}$ en términos de $b_n$ y qué asintótica puedes deducir de esta observación. ¿Actuar?

Editar: Para completar el último paso, se puede utilizar el hecho de que $$ a_n=\frac{b_n-5}{2b_n-4}. $$

Answer 3

Mi respuesta está a medio camino entre la respuesta de Did y la de Achille. Las respuestas de ambos son muy buenas, pero tal vez haya algunos para los que esta exposición sea beneficiosa.

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Resolviendo la recursión para $a_{n+1}$ da la transformación lineal fraccionaria $$ a_{n+1}=\frac{-2a_n-5}{8a_n-16}\tag{1} $$ Un método para tratar las transformaciones fraccionarias lineales es a través de matrices y coordenadas homogéneas :

Identificar $\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\simeq\dfrac xy$, and say $\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}\simeq\!\!\begin{bmatrix}u\\v\end{bmatrix}$ si $\,\dfrac xy=\dfrac uv$ .

Ahora podemos representar una transformación lineal fraccionaria como $$ \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\1\end{bmatrix}\simeq\dfrac{ax+b}{cx+d}\tag{2} $$ Nótese que una matriz diagonal representa la multiplicación real por el cociente de los elementos diagonales. Además, la multiplicación de una matriz o vector por un escalar no cambia la transformación lineal fraccionaria ni el número real que representan.

Ecuación $(1)$ dice que $$ \begin{bmatrix}a_{n+1}\\1\end{bmatrix}\simeq\begin{bmatrix}-2&-5\\8&-16\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_n\\1\end{bmatrix}\tag{3} $$ If we can find an invertible matrix $S$ and a diagonal matrix $D$ so that $$ \begin{bmatrix}-2&-5\\8&-16\end{bmatrix}=S^{-1}DS\tag{4} $$ entonces $(3)$ se convierte en $$ S\begin{bmatrix}a_{n+1}\\1\end{bmatrix}\simeq DS\begin{bmatrix}a_n\\1\end{bmatrix}\tag{5} $$ Si ponemos $b_n\simeq S\begin{bmatrix}a_n\\1\end{bmatrix}$ and let $d$ be the ratio of the diagonal elements of $D$, $(5)$ says $$ b_n=d^{n-1}b_1\tag{6} $$ Then we can recover $a_n$ by $$ a_n\simeq S^{-1}\begin{bmatrix}d^{n-1}b_1\\1\end{bmatrix}\tag{7} $$

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Informática $D$ y $S$ : $$ \begin{bmatrix}-2&-5\\8&-16\end{bmatrix} =\frac16\begin{bmatrix}1&5\\2&4\end{bmatrix} \begin{bmatrix}-12&0\\0&-6\end{bmatrix} \begin{bmatrix}-4&5\\2&-1\end{bmatrix}\tag{8} $$ Thus, $d=\dfrac{-12}{-6}=2$ and $b_1\simeq S\begin{bmatrix}a_1\\1\end{bmatrix}\simeq\begin{bmatrix}-4&5\\2&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}\simeq1$ . Por lo tanto, $$ a_n\simeq S^{-1}\begin{bmatrix}b_n\\1\end{bmatrix}\simeq\begin{bmatrix}1&5\vphantom{1^1}\\2&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2^{n-1}\\1\end{bmatrix}\simeq\frac{2^{n-1}+5}{2^n+4}\tag{9} $$