¿Es continua en $f(x)=1/x$ $(0,\infty)$?

Question

Yo nunca he hecho un delta epsilon prueba, así que pensé en probar mi mano en uno. Me decidí a probarlo por $f(x)=1/x$. Si entiendo correctamente desde el artículo de la wikipedia, quiero mostrar que para cualquier $\epsilon>0$, existe un $\delta>0$ que si $|x-c|<\delta$,$|f(x)-f(c)|<\epsilon$.

De todos modos, me di cuenta de que quiero algo como $|f(x)-f(c)|=|1/x-1/c|=\frac{|x-c|}{|xc|}<\epsilon$. Por lo $|x-c|<|xc|\epsilon$, que es similar al hecho de que yo desee $|x-c|<\delta$. Sin embargo, también he oído que uno nunca se supone que se deje $\delta$ dependen de la $x$. Es esta la dirección correcta? ¿Cómo puedo utilizar esta información para encontrar un correspondiente $\delta$ por cada $\epsilon$? Gracias!

Answer 1

Ha habido algunos confusos comentarios con respecto a la dependencia de $x$ o en $c$, así que permítanme tratar de poner todo junto.

Usted está en lo correcto que $\delta$ no debe depender de $x$. Sin embargo, cuando uno está demostrando que $f(x)$ es continua en a $c$,, a continuación, $\delta$ es permitido que dependen tanto $\epsilon$ e $c$.

Recuerde que la definición: $f(x)$ es continua en a $c$ si y sólo para cada $\epsilon\gt 0$ existe un $\delta\gt 0$ tal que para todos los $x$ si $|x-c|\lt \delta$,$|f(x)-f(c)|\lt \epsilon$.

Observe cómo la existencia de $\delta$ se menciona antes de $x$ nunca sale en la foto? Eso es una indicación de que $\delta$ no puede depender de $x$. Por otro lado, tanto $f(x)$, $\epsilon$, y $c$ ocurren antes de $\delta$, lo que significa que, en ausencia de cualquier indicación en contrario, $\delta$ es permitido a depender de $f(x)$ (obviamente), en $\epsilon$, y en $c$.

Así que aquí, usted no puede captar $\delta=|xc|\epsilon$, porque eso haría que $\delta$ dependen de la $x$.

La manera de conseguir alrededor de él es la de deshacerse de la dependencia de la $x$. La clave aquí es que, dado que estamos tratando de asegurarnos de que todo funciona si $x$ es "lo suficientemente cerca" a $c$, entonces también tendremos que $|x|$ va a ser muy cerca de $|c|$. Así que debemos ser capaces de controlar que la división por $x$ en la expresión de $\frac{|x-c|}{|xc|}$.

Cómo? Así, si un determinado $\delta_0$ obras, entonces la más pequeña. Así que siempre se puede reducir a $\delta$ un poco más si es necesario. Wo lo primero que podemos notar es que siempre podemos exigir que $\delta$ ser menor que ambos $1$ e de $\frac{c}{2}$; es decir, se requieren $\delta\lt\min\{1,\frac{c}{2}\}$. Por qué $1$? Porque entonces sé que $c-1\lt x \lt c+1$; si $c-1\gt 0$, esto significa que $\frac{1}{c+1}\lt \frac{1}{x} \lt \frac{1}{c-1}$, de modo que puede "controlar" el valor de $\frac{1}{x}$. Por qué menos de $\frac{c}{2}$? Sólo en caso de $c-1\lt 0$. Así que vamos a $\mu=\min\{1,\frac{c}{2}\}$. Entonces podemos concluir que $\frac{1}{x}\lt \frac{1}{c-\mu}$. (Que podría llegar lejos con simplemente poner $\delta\lt\frac{c}{2}$; la restricción a menos de $1$ es una práctica común, sin embargo, que es por qué lo pongo aquí).

Así, al exigir que los $\delta\lt\min\{1,\frac{c}{2}\}$, le garantizamos que $\frac{1}{|x|}\lt \frac{1}{c-\mu}$ (recordar que estamos trabajando en $(0,\infty)$). ¿Qué ganamos con esto? Bueno, miren: $$|f(x)-f(c)| = \left|\frac{1}{x}-\frac{1}{c}\right| = \left|\frac{c-x}{xc}\right| = |x-c|\frac{1}{c}\cdot\frac{1}{x} \leq |x-c|\frac{1}{c(c-\mu)}.$$ Por tanto, si nosotros también pedimos que $\delta\lt c(c-\mu)\epsilon$, entonces tenemos: $$|f(x)-f(c)|\leq |x-c|\frac{1}{c(c-\mu)} \lt \frac{\delta}{c(c-\mu)} \lt \frac{c(c-\mu)\epsilon}{c(c-\mu)} = \epsilon$$ que es lo que queremos!

Así que, en resumen, ¿qué necesitamos? Necesitamos asegurarnos de que $\delta$ es:

• Menos de $1$;
• Menos de $\frac{c}{2}$; (ambos de estos para garantizar la $\frac{1}{x}\lt\frac{1}{c-\mu}$);
• Menos de $c(c-\mu)\epsilon$ donde $\mu=\min\{1,\frac{c}{2}\}$.

Así, por ejemplo, podemos simplemente dejar que $\delta = \frac{1}{2}\min(1,\frac{c}{2},c(c-\mu)\epsilon)$ donde $\mu=\min\{1,\frac{c}{2}\}$.

En general, si usted puede dejar que su $\delta$ solo depende de los $f(x)$ y en $\epsilon$ pero no $c$, entonces se dice $f(x)$ es uniformemente continua. Este es un fuerte condición de continuidad, y a menudo muy útil. $\frac{1}{x}$ no es uniformemente continua en a $(0,\infty)$, sin embargo (a pesar de que es en $[a,\infty)$ cualquier $a\gt 0$).

Answer 2

La declaración en su primer párrafo sería la definición de continuidad uniforme (I interpretar lo que escribió como "para todos los $\epsilon$, existe un $\delta$ tal que para todos los $x$..."). Para una pregunta relacionada, consulte la Intuición de uniforme de continuidad de una función en $\mathbb{R}$. Uniforme de la continuidad implica continuidad, pero es bastante más, y de hecho, la función es continua en $(0,\infty)$, pero no uniformemente continua.

La declaración de continuidad sería que para todos los $\epsilon$ y todos los $x$ en el rango, no existe un $\delta$ (...) Lo $\delta$ depende de $\epsilon$ *y* en $x$. Intuitivamente: la mayor es la pendiente en $x$, el más cerca de usted tendrá que conseguir a $x$ para los valores de la función a estar cerca.

Answer 3

La prueba se ve ok. Delta puede depender epsilon y de c en la definición de "continuidad". Una función se llama uniformemente continua si puede probar que dado epsilon, el valor de delta depende de epsilon pero no c. 1 x no es uniformemente continua en (0,1) razón por la cual usted no puede conseguir alrededor del hecho de que delta depende de c. 1 / x estaría uniformemente continuo en la otros intervalos sin embargo (intervalos donde f' es limitada).