Cómo encontrar $a_{n}$ si $a_{n+1}=\sqrt{2a_n+1}$

Question

Dejar $a_{1}=\dfrac{\sqrt{2}}{4}$ y tal $$a_{n+1}=\sqrt{2a_{n}+1}$$ encontrar $a_{n}$

mi idea:dejar que $a_{n}=\dfrac{1}{2}\cos{x_{n}}$ $$\Longrightarrow \dfrac{1}{2}\cos{x_{n+1}}=\sqrt{\cos{x_{n}}+1}=\sqrt{2}\cos{\dfrac{x_{n}}{2}}$$

después no puedo trabajar.

Pero he visto esto $$a_{1}=\sqrt{2},a_{n+1}=\sqrt{2+a_{n}}$$ Esto puede permitir $a_{n}=2\cos{x_{n}}$ puede trabajar

porque $$\Longrightarrow 2\cos{x_{n+1}}=\sqrt{2+2\cos{x_{n}}}=2\cos{\dfrac{x_{n}}{2}}$$ así que $$\cos{x_{n+1}}=\cos{x_{n}/2},x_{1}=\dfrac{\pi}{4}$$

así que $$x_{n}=2\cos{\dfrac{\pi}{2^{n-1}}}$$

Answer 1

Tenga en cuenta que si $a_n \gt 0$ entonces $a_{n+1}\gt 1$ . También si $a_n \lt 3$ entonces $a_{n+1} \lt 3$ . Así que eso limita la secuencia.

El punto fijo de la secuencia satisface $a=\sqrt {2a+1}$ - cuadrar y resolver para obtener $a=1+\sqrt 2$ .

Es fácil demostrar que $a_n$ es creciente hacia este punto fijo.

Si espera adivinar una expresión general para $a_n$ entonces tiene que cumplir con estas restricciones. Sin embargo, incluso calculando $a_2$ a mano parece que las cosas se desordenan - nota: cuando se atasca, resuelve los primeros valores.