Demostrar que $3^n>n^4$el % si $n\geq8$

Question

Demostrando que $3^n>n^4$ si $n\geq8$

Traté de comienzo de la inducción matemática de $n=8$ como el caso base, pero estoy atrapado cuando tengo que usar el hecho de que la declaración es verdad $n=k$ $n=k+1$ de probar. ¿Alguna idea?

¡Gracias!

Answer 1

Sugerencia: Demostrar eso si $k\ge 8$, entonces

$$3\ge\left(\frac{k+1}k\right)^4=\left(1+\frac1k\right)^4\;.$$

Cuando vayas de $k$ $k+1$, estás multiplicando $3^k$ $3$, y está multiplicando $k^4$ $\left(\frac{k+1}k\right)^4$.

Answer 2

Sugerencia:

Mira $(n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1$.

Observe que $4n^3 +6n^2\leq (n/2)n^3+n^3\leq n^4/2+n^4/2=n^4$

y $4n+1\leq n^4$.

Así consigues $(n+1)^4\leq n^4+n^4+n^4$.

¿Y ahora qué? (Usted debe ser capaz de tomar desde aquí).

Answer 3

Desea mostrar $3^n>n^4$. Esto es decir que $e^{n\ln3}>e^{4\ln n}$. Esto significa que desea mostrar $n\ln 3>4\ln n$. Basta para mostrar $\frac{n}{\ln n }>\frac{4}{\ln 3}$. Desde $\frac{8}{\ln 8}>\frac{4}{\ln 3}$ y desde $f(x)=\frac{x}{\ln x}$ tiene una primera derivada positiva $x\geq 8$, el resultado sigue.

Answer 4

En primer lugar mostrar el caso base. Entonces asumir $3^k>k^4$. Por lo tanto, $3^{k+1}=3*3^k>3k^4>(k+1)^4$