Pregunta sobre el límite de puntos de un subconjunto de $\mathbb{R}$

Question

La pregunta :

Deje $D$ ser un subconjunto no vacío de los reales que está delimitado por encima. Es el supremum de $D$ a un punto límite de $D$?

Mi Razonamiento: yo creo que esto es falso, para estos dos casos. Caso 1:Si miro $D = \{n \in \mathbb{Z} | n \le 0\}$ el supremum es $0$. Y ya que necesito una secuencia convergente $\{x_n\} \subset D/\{0\}$ los converge a $0$ para que sea un punto límite que puedo decir en este caso si miro $\epsilon = \frac{1}{2}$ para los converge de la secuencia de fracasar en la que convergen y por lo $0$ no es un punto límite.

Caso 2: También si miro $D = {0}$ entonces el supremum es $0$. Y $D$ es un subconjunto de los reales. Así que si busco una secuencia $\{x_n\} \subset D/\{0\}$ I no puede hacer, porque uno de $D/\{0\}$ es el conjunto vacío.

Mi pregunta es esta. Dado que el problema le preguntó acerca de un subconjunto arbitrario de los reales $D$, puedo definir $D$ a dar un contraejemplo de arriba o he entendido mal la pregunta?

--Gracias de antemano.

Answer 1

Si $D$ es finito, por supuesto no tiene ningún límite de puntos.

Si el supremum llama $s$ no pertenece a $D$, entonces será su punto límite, si no uno puede encontrar un barrio de $s$, sin punto de $D$, lo que contradice el supremum de la asunción.

Supongamos también que el $D$ no tiene puntos aislados. Ahora si $D$ tiene un supremum llama $s$, escoger un barrio de $s$. Debe haber al menos un punto de $D$, llama $d$ que se encuentra en este barrio, de lo contrario, uno puede encontrar la menor cota superior de ($d$ puede ser igual a $s$). Ahora ya $D$ no tiene puntos aislados, en cada barrio de $d$ tiene una infinidad de puntos de $D$. Para $d=s$, el supremum tiene la misma propiedad y si no, uno puede encontrar un barrio de $d$ que cae en el barrio de $s$ $s$ es un punto límite.