AUT

Question

Estoy tratando de probar que % de Aut $\mathbb Z_p\simeq \mathbb Z_{p-1}$(primer p).

Sé que Aut $\mathbb Z_p$ tiene $p-1$ elementos ya $\mathbb Z_p$ tiene $p-1$ posibilidades de generadores, así que intuitivamente veo Aut $\mathbb Z_p\simeq \mathbb Z_{p-1}$, pero no podía demostrarlo formalmente.

Estoy tratando de construir una función isomorfa, pero no cómo hacerlo.

¿Soy de la manera correcta? Quizás me estoy olvidando de algun truco o algo.

Gracias

Answer 1

Lo que hemos dicho hasta ahora es correcto, pero el hecho de que el grupo cíclico de orden $p-1$ es significativamente más difícil. Usted necesitará algo de idea real aquí; no es una cuestión de simplemente después de su nariz.

Un enfoque estándar es demostrar la Ciclicidad Criterio: un grupo de $G$ finito de orden $n$ es cíclico $\iff$ para cada divisor $d$ $n$ hay en la mayoría de las $d$ elementos $x$ $x^d = 1$ (el elemento de identidad). Generalmente esto se demostró mediante un conteo de argumento, y es útil saber que $\sum_{d \mid n} \varphi(d) = n$ donde $\varphi(d) = \# (\mathbb{Z}/d\mathbb{Z})^{\times}$ es el número de enteros $1 \leq e \leq d$$\gcd(e,d) = 1$.

Con eso en mano, debes observar que $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ es un campo, y por lo tanto el número de raíces del polinomio $x^d - 1 = 0$ es en la mayoría de las $d$. Este argumento termina mostrando un poco más: cualquier finito subgrupo del grupo multiplicativo de un campo es cíclico.

P. S.: Si te digo que el resultado es a menudo llamado "la existencia de raíces primitivas modulo $p$", que puede ayudar a que usted la busque en muchos de los textos introductorios sobre álgebra y/o la teoría de números.

Answer 2

Tomar un automoprhism, demostrar que debe venir de multiplicación por distinto de cero en $\mathbb{Z}_p$ mirando lo que hace a 1 y por que es un homomorfismo. Luego muestran que este grupo es cíclico (raíces primitivas y todo ese jazz). Esto viene a la existencia de raíces primitivas, que es donde está el problema. Entonces usted tendrá que el grupo del automorphism es cíclico de elementos de $p-1$, donde la respuesta.

Answer 3

Este es un método de otro. Tenemos que demostrar que % de Aut $\mathbb Z_p\simeq \mathbb Z_{p-1}$(primer p).

Sabemos que % de Aut $\mathbb Z_p\simeq U(p)$

Por resultado de Gauss, sabemos que cuando $p$ es primer, $U(p^k) \simeq Z_{\phi(p^k)} $

Por lo tanto, $U(p) \simeq Z_{p-1} $

Desde entonces, isomorfismo sigue leyes de Transitividad: $=> Aut ~ \mathbb Z_p\simeq \mathbb Z_{p-1}$ cuando $ p$ es primo.