El submódulo de torsión de $\prod \mathbb{Z}_p$ no es un sumando directo de $\prod \mathbb{Z}_p$

Question

Esta pregunta es una pregunta de seguimiento de este.

Ahora estoy tratando de demostrar que la torsión submódulo de $\prod \mathbb{Z}_p$ no es un sumando directo de $\prod \mathbb{Z}_p$.

He encontrado este interesante porque es un ejemplo de que más de un PID, no finitely módulo generado puede no ser descompuesto como torsión $\oplus$ algo libre, mostrando incluso, de que no puede ser descompuesto como torsión $\oplus$ nada.

Ahora, es fácilmente constatable que la torsión submódulo de $\prod \mathbb{Z}_p$$\bigoplus \mathbb{Z}_p$.

Así que si podemos descomponer $\prod \mathbb{Z}_p$ como torsión $\oplus$ algo que tendría que ser $\prod \mathbb{Z}_p = \bigoplus \mathbb{Z}_p \oplus \frac{\prod \mathbb{Z}_p}{\bigoplus \mathbb{Z}_p}$ (esto es correcto, ¿verdad?)

Ahora, a partir de la pregunta vinculada arriba, sabemos que el derecho sumando es divisible entre ($\iff$ inyectiva), además de torsión libre ($\iff$ plana).

(Pienso yo) he aprendido mi lección de mi pregunta anterior, por lo que también traté de demostrar que no es un miembro de $\prod \mathbb{Z}_p$ que no puede ser escrita como una suma de algo en $\bigoplus \mathbb{Z}_p$ más algo en $\frac{\prod \mathbb{Z}_p}{\bigoplus \mathbb{Z}_p}$, pero yo no podía avanzar más en esta dirección.

Answer 1

Que $G=\prod_p\mathbb Z_p$y $H=\bigoplus_p\mathbb Z_p$ y sentido $H$ como un subgrupo de $G$. Desea saber si un factor directo de $H$ $G$. Si fuera habría un subgrupo $K$ $G$ isomorfo a $G/H$. Allí no es. Sabes que $G/H$ es divisible, pero no hay % de elementos no cero $x\in G$tener la propiedad que $x=p y$ $y\in G$ % primos todos $p$.

Answer 2

Pregúntate a ti mismo esta pregunta: si $x \in \prod_p \mathbb{Z}_p$ es tal que cada $x \in n \prod_p \mathbb{Z}_p$ $n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$, entonces ¿qué podemos decir acerca de $x$?

Podrá concluir que no existe ninguna incrustación de $\frac{\prod_p\mathbb{Z}_p}{\oplus_p \mathbb{Z}_p}$ $\prod_p \mathbb{Z}_p$

Answer 3

Mi respuesta va a ser muy avanzada, pero que podrían ser de interés para usted (o mostrar las nuevas ideas): un módulo de $A$ es auto-pequeño, si $Hom_R(A, -)$ functor desplazamientos arbitrarios directa sumas de $A$. No puede ser demostrado (con un poco de esfuerzo), que endomorphic imágenes (directo sumandos por ejemplo) de auto-pequeños módulos de auto-pequeño e infinito suma directa no puede ser auto-pequeño. Con (mucho) más de esfuerzo se podría probar, o encontrar aquí, una condición en la auto-smalness de producto, lo que demuestra, que $\prod_p \mathbb{Z}_p$ es un auto pequeño. Si $\oplus_p \mathbb{Z}_p$ fue un sumando directo, tendría que ser auto-pequeño, una contradicción.