Digamos que tienes el mitad-plano $\{z\in\mathbb{C}:\Re(z)>0\}$. Existe una rigurosa explicación ¿por qué la transformación $w=\dfrac{z-1}{z+1}$ mapas del plano medio en $|w|<1$?
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¿Demasiados anuncios?
Sahas Katta
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También puede comprobar de forma explícita:
$$ \left| \frac{z-1}{z+1} \right|^2 = \frac{z-1}{z+1}\cdot\frac{\overline{z}-1}{\overline{z}+1} = \frac{|z|^2-2 \Re(z) +1}{|z|^2+2 \Re(z)+1} < 1. $$
La última desigualdad sigue simplemente porque $\Re(z) > 0$, por lo que el numerador es menor que el denominador.
Al revés: a la inversa está dada por
$$ z \mapsto \frac{1+z}{1-z} $$
y podemos comprobar la parte real de $|z| < 1$:
$$ \Re\left(\frac{1+z}{1-z}\right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1+z}{1-z} + \frac{1+\overline{z}}{1-\overline{z}}\right) = \frac{1-|z|^2}{|1-z|^2} > 0. $$
Adam
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(Este es el comentario más entonces respuesta pero no podemos agregar imágenes en comentario)
Ella es el código de imagen y fuente
Gudmundur Orn
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Hay, pero no estoy seguro de lo que haces o no lo sé. Pero vamos a ver qué podemos hacer.
Así que usted sabe que es una transformación lineal fraccional. Es continuo, bijective, abierto, y en última instancia hermoso. Se puede demostrar que conserva circilinearity - es decir que se necesitan líneas y círculos con líneas y círculos (no respectivamente - una línea en el plano complejo extendido es un círculo a través de infinito). A continuación, puede ver que esta transformación no en el hecho de enviar la línea imaginaria hasta el límite de la unidad de disco. (De hecho, el módulo en los números imaginarios es 1 - que es todo lo que necesita para comprobar).
Así que tenemos un continuo lineal mapa que envía el límite donde queremos enviar. A fin de tomar un punto en la mitad de avión y asegurarse de que se envía al interior y no el exterior. $1$, por ejemplo, es enviado a $0$, y para la mitad derecha avión se encuentra en el interior del disco (y, en particular, no es el límite, el cual es la imagen de la línea imaginaria).
Por eso, en pocas palabras.
