¿Qué es la propiedad que permite $5^{2x+1} = 5^2$ $2x+1 = 2$ de ser?

Question

¿Qué es la propiedad que permite $5^{2x+1} = 5^2$ $2x+1 = 2$ de ser? A esto cubrimos en clase, pero el profesor no explica por qué estamos autorizados a hacerlo.

Answer 1

Su realmente una buena pregunta, la cosa es que $5^{x}$ es inyectiva, por lo que sólo es posible que $5^x = 5^y$ al $x=y$.

Usted sabe que $a^b \cdot a^c= a^{b+c}$, por lo que al dividir por $5^y $ hemos $$5^{x-y}=1$$ al $x-y\neq 0$ esto no va a ser 1.

Supongo que es más fácil unterstand al uso que la estricta monotonicty implica la inyectividad.

Porque cuando $x-y>0$ vamos a multiplicar un poco de $5$ a él y cuanto mayor es $x-y$ es el más grande de la serie es que se multiplican. Al $x-y<0$ dividimos a través de un mayor número de $|x-y|$ se hace más grande.

Aquí es un gráfico de la función en el intervalo de $[-1,1]$, de hecho es suficiente para probar que la función es monótona aquí como sabemos que podemos utilizar para cualquier otro número en una suma de números en este intervalo y la mencionada regla de $5^a \cdot 5^b = 5^{a+b}$

Answer 2

Creo que %#% $ #%

$$5^{(2x+1)} = 5^2$$

$$\implies$$

Answer 3

$5^{(2x+1)} = 5^2$

Multiplicar por $1/5^2$ om ambos lados que obtenemos,

$\frac{5^{(2x+1)}}{5^2} = 1$

$\Rightarrow 5^{(2x+1)-2} = 1$

Registro de toma para la base 5 en ambos lados obtenemos $2x+1-2=0$.

Answer 4

Todo el mundo parece que se ha mencionado de inyectividad, pero, supongo que, si usted está haciendo una pregunta como este, entonces puede que no saben lo que significa para una función inyectiva.

Una función de $f: X \to Y$ es una asignación que asigna a cada elemento del conjunto a $X$ un único elemento del conjunto $Y$.

Decimos que $f$ es inyectiva si, $\forall f(a),f(b) \in Y$ tenemos que $f(a) = f(b) \implies a = b$. (Por supuesto, esto sólo tiene sentido si $a, b \in X$. Ahora usted puede considerar esto con la función de $a^x, a \in \mathbb{R}$ para ver cómo funcionan las cosas.

---

Alternativamente, se podría decir que

$5^{2x+1} = 5^2 \implies 5^{2x - 1} = 5^0 = 1 \implies 2x - 1 = 0 \implies 2x + 1 = 2$

si estás dispuesto a creer que el único número que cuando se levante $5$ a la potencia de dicho número le da $1$$0$. Sin embargo, la justificación para esto es la anterior noción de inyectividad, por lo que este tipo de enfoque es el lavado sobre el punto de la deducción.