Factores de $2^p + 1$, p primera

Question

¿Se ha demostrado la conjetura siguiente o encontrar un contraejemplo?

Si $p$ es un primo no es igual a 3, $2^p + 1$ es un entero libre de cuadrados.

Answer 1

Creo que esto ha sido demostrado ni refutado. He escuchado por lo menos un matemático opinar que es probablemente falsa (aunque no sé de un apoyo heurístico).

Answer 2

Elija una extraña prime $q>3$ y dejar el menor entero positivo $h$ tal que $2^{h} \equiv -1$ (mod $q^{2}$), si existe un entero. A continuación, $2^{h}-1$ es relativamente primer a $q,$ $2$ ha multiplicativo orden de $2h$ $\mathbb{Z}/q^{2}\mathbb{Z}.$ por lo tanto si $2^{n} \equiv -1$ (mod $q^{2},$ debemos tener $n \equiv h$ (mod 2h) y $h$ divide $n.$ Si $n$ es primo, esto obliga a $h =p$ como $q >3$ $h \neq 1.$ por lo tanto para responder a la pregunta por la negativa, tenemos que encontrar impares primos $p$$q$, de modo que $2$ ha multiplicativo orden de $2p$ $\mathbb{Z}/q^{2}\mathbb{Z}.$ I no puedo ver ninguna razón obvia por la que no debería ser tal primos $p$ $q,$ a pesar de que puedo imaginar que podría ser raro, por la siguiente razón. Tenga en cuenta que se requerirá $p|q-1$ en este caso. Si elegimos un par de impares primos $p$ $q$ con $p|q-1$ y elegimos un entero aleatorio $a$ coprime a $q,$ y considerar su orden en $\mathbb{Z}/q^{2}Z$, se considera el número de elementos de orden $2p$ en este grupo de unidades. Hay $p-1$ elementos de orden $2p$ en este grupo cíclico, y un total de $q^{2}-q$ elementos en el grupo. Por lo que es razonable considerar la probabilidad de que $a$ ha multiplicativo orden de $2p$ $\frac{p-1}{q^{2}-q} < \frac{1}{q}.$ En particular, esto se aplica al $a = 2.$