Que son los conjuntos medibles en $\mathbb{R}$

Question

¿Hay cualquier caracterización para todos los conjuntos medibles en $\mathbb{R}$? ¿Puedo decir que un conjunto es medible si un sólo si tiene la propiedad de Baire? (diferencia de un conjunto abierto por un primer conjunto de categoría). ¿Si la respuesta es no, hay un ejemplo de un conjunto medible que no tiene la propiedad de Baire?

¡Gracias! Shir

Answer 1

Una útil en la caracterización de los conjuntos medibles es que un conjunto es medible si y sólo si es de la forma $B\triangle N$ donde $B$ es Borel (aun $G_\delta$) y $N$ es nulo (medida cero) (esto es fácil de demostrar el uso de la regularidad de la medida, y en realidad es cierto para cualquier Borel regular de la medida, en cualquier espacio).

De que no es difícil ver que un conjunto medible puede ser algo patológico: $N$ puede ser cualquier subconjunto del conjunto de Cantor, por ejemplo. También puede ser cualquier subconjunto de un comeager conjunto que es de medida cero (como el conjunto de los números de Liouville, por ejemplo), que pueden no tener propiedad de Baire. También hace que sea fácil ver que hay $2^{\mathfrak c}$ conjuntos medibles.

Answer 2

Para responder a su segunda pregunta, es que no es cierto que un conjunto es medible fib tiene la propiedad de Baire.

Hay una manera de ver cómo los subconjuntos medibles $U\subset \mathbb{R}$ aspecto, sin embargo, es llamado Littlewood del primer principio y estados:

Si el exterior de medida $\mu^*(U)<\infty$ $U$ es medible si y sólo si para todos los $\epsilon > 0$ hay una unión finita de intervalos de $J$ tal que $\mu^*(U \triangle J)< \epsilon$.