Encontrar el signo de $\int_{0}^{2 \pi}\frac{\sin x}{x} dx$

Question

Me encantaría su ayuda para encontrar el signo de la integral siguiente: $\int_{0}^{2 \pi}\frac{\sin x}{x} dx$, sé que la computación le es imposible. Intenté utilizar integración por las piezas y quizá conocer el signo de cada parte y conclusión de algo pero no me funciona.

¿Alguna sugerencia?

¡Gracias!

Answer 1

$$ \begin{align*} \int_0^{2\pi}\frac{\sin x}{x}\,dx&=\int_0^{\pi}\frac{\sin x}{x}\,dx+\int_\pi^{2\pi}\frac{\sin x}{x}\,dx\\ &=\int_0^{\pi}\frac{\sin x}{x}\,dx+\int_0^{\pi}\frac{\sin(x+\pi)}{x+\pi}\,dx\\ &=\int_0^{\pi}\Bigl(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+\pi}\Bigr)\sin x\,dx\\ &=\pi\int_0^{\pi}\frac{\sin x}{x(x+\pi)}\,dx\\ &>0 \end{align*} $$

Answer 2

Referente al signo, es fácil la comprobación de que cada área en cada una de las $\pi$ intervalo es siempre menor que el anterior. El signo es positivo.

Para el valor, integrar en el mismo intervalo de

$$y = \cos \frac{x}{2} \cos \frac{x}{4} \cos \frac{x}{8}$$

La diferencia entre la función de sinc y que es en la mayoría de las $\approx 0.015$ en ese intervalo.

La adición de $$\cos \frac{x}{16}$$ makes the error at most $\aprox 0.003$

Para la primera de ellas tiene.

$$I = \frac{104}{105} \sqrt{2} \sim\sqrt{2} $$

Para el último:

$$I = \frac{{1568}}{{2145}}\frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2} \sim \sqrt{2}$$

Tal vez el área es $\sqrt{2}$, después de todo.

Answer 3

Que $f(x)=\sin(x)/x$. Así $f(x)=0$ cuando $\sin(x)=0$. Así que la única solución en el intervalo $(0,2\pi)$ es $x=\pi$. Conectar en los puntos de prueba muestra que $f(x)$el % es positivo a la izquierda de $x=\pi$ y negativo a la derecha.

Siguiente, si aceptas que $1-x/3 \leq \sin(x)/x$ (hacer algún argumento utilizando la serie de MacLaurin), entonces el $\int_0^{\pi} f(x)\,dx \geq \frac{1}{2}(3)(1)=3/2$. En el otro mano $|\sin(x)|/x \leq |\sin(x)|/3$ $x \geq 3$ % que $\int_{\pi}^{2\pi} |f(x)|\,dx \leq \int_{\pi}^{2\pi} \frac{|\sin(x)|}{3}\,dx = 2/3$.

Así $\int_0^{2\pi} f(x)\,dx \geq 3/2-2/3>0$