Es $\int f=f-1\iff f(\cdot)=e^{\cdot}$ ¿se ha demostrado que esto es correcto?

Question

Vi esto en math overflow y me hizo preguntarme, por qué funciona, es riguroso, podemos realmente factorizar así, y dónde podemos usar trucos similares;

Dejemos que $\int$ denotan $\int_0^x$

Entonces resuelve $$\int f=f-1 \iff 1=\left (1-\int\right )f\iff f=\left (1-\int\right )^{-1} 1$$

Entonces con la serie geométrica

$$f=\left(1+\int+\iint+\iiint+\cdots\right)1=1+\int_0^x1~dx+\int_0^x\int_0^x1~dx+\cdots=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots=e^x$$

Answer 1

(Escribir $(T f)(x)=\int_0^x f(t) \, dt$ para que no tengamos conflictos con lo que $\int^k$ medios)

Trabajaré en el espacio de funciones continuas sobre $[0,R]$ completado utilizando la norma del supremum $\| f \| = \| f \|_{\infty} := \sup_{x \in [0,R]} |f(x)|$ ; llamamos a esto $X$ . Debe quedar claro que $T$ mapas $X \to X$ .

Dejemos que $x>0$ sea lo suficientemente pequeño ( $<1$ lo hará). A continuación, $ \| T f \| \leqslant x \| f \| $ utilizando el límite trivial $ \left| \int_a^b f \right| \leq (b-a) \sup_{a<x<b} |f(x)| $ y así $\| T^k f \| \leq x^k\| f \|$ . (De hecho, utilizando el Fórmula de Cauchy para la integración repetida Podemos hacerlo mejor: $\| T^k f \| \leq (x^k/k!)\| f \|$ y luego $x$ puede ser un valor real. Debería ser fácil para usted mejorar mi cálculo para trabajar en toda la línea con esto).

Consideremos ahora la suma de operadores $$ S_n = I + \sum_{k=1}^n T^k, $$ donde $I$ es el operador de identidad (su $1$ ); esto se denomina Serie Neumann de $T$ . Podemos demostrar que esto converge a la inversa de $(I-T)$ Tenemos $$ S_n (I-T)f = (I-T)S_n f = f - T^{n+1} f, $$ así que $$ \| S_n (I-T)f-f \| = \| T^{n+1} f \| < x^{n+1} f \to 0 $$ como $n \to \infty$ . (De manera similar para $(I-T)S_n f$ .) Desde $X$ es completa, por lo que concluimos que $ S_{n} f \to (I-T)^{-1}f $ .

Lo anterior demuestra que su cálculo con la serie geométrica funciona, ya que $(T^k 1)(x) = x^k/k!$ y un argumento con el teorema del mapa de contracción mostrará que $e^x$ es la única función de este tipo.