¿A quién le debemos la construcción de los ángulos y de la trigonometría?

Question

He llegado a través de lo que es, para mí, la más precisa, hermosa y completa definición de lo que conocemos como el ángulo entre dos vectores. Digo esto porque la mayoría de la literatura, ya sea desliza por las cosas y comienza a hablar acerca de los ángulos de repente, o utiliza un artificioso definición como la única $\theta\in[0,\pi]$ tal que $\|u\|\|v\|\cos\theta = u\cdot v$. Sí funciona bien, pero me deja bastante satisfecho; me gustaría ya tener un "intrínseca" de la definición de un ángulo, y luego dejar que la función coseno se define a decirme cosas sobre ángulos. Por qué, de la otra manera tenemos que definir el coseno por algún poder mágico de la serie, y luego resulta que la definición anterior hace que los ángulos se comportan como deberían! A mí me parece falsa, pero los pensamientos sobre esto son bienvenidos.

De todos modos, la construcción proviene de un libro llamado Àlgebra Lineal i Geometria (Castellet/Llerena), y me gustaría saber si alguien lo ha visto, otros que en este libro de curso. Voy a publicar el inicio de la sección (traducido del catalán, y parafraseado):

Deje $(E,\langle\cdot,\cdot\rangle)$ $2$- dimensional en el espacio Euclidiano. En el conjunto de los pares de vectores unitarios, definir la relación de equivalencia $$(u,u')\sim(v,v') \iff \exists f\in SO(2) : f(u)=v,\, f(u') = v'$$ Esta condición ha demostrado ser equivalente a $\exists g\in SO(2) : g(u)=u',\, g(v) = v'$. Definimos un ángulo como una de estas clases de equivalencia. Se denota la clase representada por $(u,u')$$[(u,u')] = \widehat{uu'}$. Esto puede ser fácilmente extendido a $E\times E$ definiendo $\widehat{uv}$ como el ángulo definido por $\frac{u}{\|u\|},\frac{v}{\|v\|}$. Llame al conjunto de ángulos $A =E\times E_{\large{/\sim}}$ cualquier $u\in E$ definir un mapa $$SO(2)\longrightarrow A \atop \qquad\qquad\, f\mapsto \widehat{uf(u)}$$ This is in fact a bijection, and allows us to transport the operation in $por LO que(2)$ to $$: given $\alpha,\beta\en$ with preimages $f,g$ respectively, define the sum $\alpha+\beta$ as the image of $f\circ g$. In class notation: $$\left.\begin{align}&\alpha = [(u,f(u))] \\ &\beta = [(f(u),gf(u))]\end{align}\right\}\Rightarrow \alpha+\beta = [(u,gf(u))]$$ Naturalmente, esta suma tiene las mismas propiedades en $A$ como se hace la operación en $SO(2)$. $A$ es entonces un grupo abelian, cuya identidad es $0 = \widehat{uu}$. A la inversa, o opuesto al ángulo de $\widehat{uf(u)}$$\widehat{f(u)u}$.

Aquí viene la parte divertida.

Mediante la fijación de una orientación en $E$, cada una de las $f\in SO(2)$ tiene una matriz correspondiente $$\left(\begin{array}{ccc}a & -b \\ b & a\end{array}\right)\text{ with } a^2+b^2 = 1$$ Let $\alfa$ be the angle corresponding to $f$. We define the cosine, and the sine, of $\alpha$ by $$\cos\alpha = a\qquad \sin\alpha = b$$

Demasiado inteligente. Y se pone mejor:

Vamos a hacer un par de observaciones ahora sobre esta definición. En primer lugar, en el cambio de la orientación de $E$ el signo de $\sin\alpha$ cambios, pero no $\cos\alpha$.

Uno tiene $$\cos0 = 1\qquad \sin0 = 0$$ since the angle $0$ corresponds to $\mathrm{id}$.

El ángulo de $-\alpha$ (al contrario que con respecto de la suma) corresponde al $f^{-1}$, cuya matriz es la transpuesta de a $f$'s de la matriz; por lo tanto: $$\cos(-\alpha) = \cos\alpha\qquad \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$$

El ángulo de $\alpha + \beta$ corresponde a la composición de sus respectivos mapas. Por lo tanto, la multiplicación de la matriz, se obtiene: $$\begin{align}\cos(\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \\ \sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\end{align}$$

Para finalizar voy a poner algunos posterior proposiciones sin pruebas.

Existe uno y solo un ángulo de $\pi$ tales que $\pi+\pi = 0$. $\pi$ es el ángulo tal que $\cos\pi = -1$ e $\sin\pi = 0$.

Existen dos, y sólo dos ángulos $\delta_1,\delta_2$ tales que $\delta_i + \delta_i = \pi$. $\delta_i$ son los ángulos que $\cos\delta_1 = \cos\delta_2 = 0$ e $\sin\delta_1 = -\sin\delta_2 = 1$. Llamamos a estos ángulos rectos.

$\widehat{uv}$ es un ángulo recto iff $\langle u,v\rangle = 0$

El texto continúa probando cosas como estas. Mi pregunta es si alguien ha visto esto, o un similar tratamiento extenso. También, sin embargo, estoy interesado en la búsqueda de cualquier texto que formalmente enlaces de la primitiva ángulos, el seno y el coseno de la geometría para el seno y el coseno ahora todos sabemos y el amor de cálculo, o incluso el análisis complejo, de preferencia con la geometría como punto de partida.

Notas:

• Obviamente hay definedness temas a tratar. Parece que esto se deja para el lector.
• Debo publicar esto en mathoverflow? Nunca la he utilizado, pero algo me dice bibliográfica investigación de este tipo podría encajar.
• Por desgracia, los ángulos son ahora objetos abstractos, y no lo hemos hecho del todo definido el seno o el coseno de un número real, así que estoy pensando en una forma de mapa de los números reales para los ángulos. Cualquier comentario sobre este sería apreciado!

Answer 1

Sí. De hecho, $\operatorname{SO}(2)$ es isomorfo a $S^1$ (el círculo) como un subconjunto de a $\mathbb{C}$. Una divertida forma de ver esto es considerar todos los $2\times 2$ matrices de la forma $$Z:=\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}$$ for any choice of $a,b\in\mathbb{R}$. Exercise: check that the set of all such matrices is closed under addition and matrix multiplication and thus forms a so-called algebra, whose only singular element is $(0,0)$. In fact this algebra is isomorphic to $\mathbb{C}$. Now you will recall from basic complex arithmetic that any complex number $z=a+ib$ can be written as $z=\rho e^{i\theta}$ where $\rho^2=a^2+b^2$, $\rho>0$ and $\cos\theta=a/\rho$, $\sin\theta=b/\rho$, $\theta\in[0,2\pi)$ are uniquely determined, but there is always something upsetting about this approach. Think instead of the complex number $z$ as a matrix $Z$ of the above form, then $\rho^2=\det Z$ and $\exp(\theta J)=Z/\rho$ where the $\exp$ función de matrices se define como una potencia de la serie (de matrices) $$\exp(M):=I+M+\frac{M^2}2+\frac{M^3}{3!}+\dotsb$$ y $$J=\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}\text {, por tanto } Z=\sqrt{\det Z}\exp(\theta J).$$ Si no te gusta que exponencial, sólo pensar en ello como $$Z=\sqrt{\det Z} E\text{ for some matrix }E.$$

Ahora a pensar geométricamente, una matriz de $Z$ de la forma anterior representa una transformación lineal en el plano y $\det Z$ es la correspondiente transformación de la zona, por lo $\sqrt{\det Z}$ es el cambio en la longitud, siempre que los cambios de longitud de manera uniforme en todas las direcciones (isotrópica). Pero isotrópica cambio se produce si y sólo si los ángulos (o sus cosenos) se conservan por la transformación lineal... y son, tomar dos vectores $u,v\in\mathbb R^2$ y comprobar que $u^*Z^*Zv=\det Z\,u^*v$. Así que, de hecho, las matrices $Z$ no son mas que un estiramiento $\sqrt{\det Z}$ combinado con una rotación $E:=Z/\sqrt{\det{Z}}$. (En este punto se puede ver que esta rotación $E$ corresponde a un ángulo de $\theta$, pero no es necesario pensar de $\theta$ aún). Si imponemos la restricción adicional de que $\det Z=1$, las transformaciones $Z$ describir todos los posibles rotaciones en el plano. El conjunto de matrices de la forma de $Z$ $\det Z=1$ es conocido como $\operatorname{SO}(2)$ y esto muestra que es isomorfo al círculo $S^1$.

Si prefieres análisis complejo, usted puede presentar el llamado grupo unitario de orden $1$, $\operatorname{U}(1)$ tomando todos los números complejos $z$ de la longitud de unidad $|z|=1$. Pero, como hemos visto anteriormente, esto no es sino $\operatorname{SO}(2)$ visto desde un ángulo diferente (juego de palabras no deseadas).

No estoy seguro de que esto te aclare las cosas, pero me parece fascinante para introducir los números complejos en esta forma geométrica, como la orientación de la preservación de la lineal y de conformación (OPLAC) las asignaciones, es decir, como el avión de transformaciones (asignaciones) que preservan la orientación, la línea recta (lineal) y ángulos (conformación), en lugar de la mecánica $i^2=-1$ algebraicas.

Para terminar, vamos a revisar la matriz de la función exponencial. Si $L$ es un OPLAC mapa veamos $\exp L$. Primero que nada, debemos descomponer \begin{equation} L=\begin{bmatrix}m&-n\\n&m\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}m&0\\0&m\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&-n\\n&0\end{bmatrix} =mI+nJ,\text{ con $J$ arriba}. \end{equation} Desde $I$ $J$ conmutar (check) se deduce que \begin{equation} \exp L=\exp(mI)\exp(nJ)=e^m\exp(nJ). \end{equation} Ahora ha dado otra OPLAC mapa de $Z$ uno puede hacer la pregunta de si es posible encontrar $L$ tal que $Z=\exp L$. Si $Z=0$, ninguna posibilidad. Pero si $Z\neq0$ es suficiente con tomar el $m=\log\sqrt{\det Z}$ $n$ tal que $\exp(nJ)=Z/\sqrt{\det Z}$. La elaboración de la exponencial vemos fórmula de Euler en la forma de la matriz: \begin{equation} \exp(nJ) = I+nJ+\frac{n^2J^2}2+\frac{n^3J^3}{3!}+\frac{n^4J^4}{4!}+\dotsb \\ = I+nJ-\frac{n^2I}2-\frac{n^3J}{3!}+\frac{n^4I}{4!}+\dotsb \\ = (\cos n)I+(\sin n)J . \end{equation} De nuevo, este se conecta a la rotación y a la trigonometría, pero mediante el uso de seno y coseno como la potencia de la serie.

Answer 2

Tenga en cuenta que usted tiene una orientada al ángulo: $(u,v)$ $(v,u)$ serán distintos ángulos, a menos $v = \pm u.$

Ese problema desaparece si usted comienza a considerar los pares de vectores unitarios en $\mathbb R^3$ $SO(3).$

Creo que la idea se origina con Xavi Hernández, del FC Barcelona.