¿Hay una manera fácil de ver que $E(X^2) \geq E^2(X)$ ?

Question

Estoy intentando memorizar el teorema de traslación de Steiner/fórmula de König-Huygens. El nombre en inglés parece ser "Fórmula algebraica para la varianza"

$$Var(X) = E[(X-E(X))^2] = E(X^2) -E^2(X)\;\;\;[1]$$

Supongo que como $Var(X) \geq 0$ , $E(X^2) \geq E^2(X)$ retenciones. ¿Correcto?

Hay una prueba no muy complicada para [1] en la página de wikipedia enlazada que entiendo. Pero se necesita algo de tiempo para reproducirla. Sin embargo, recuerdo perfectamente el resultado de $E(X^2), -, E^2(X)$ pero no el orden. Así que (ya que la diferencia tiene que ser $\geq 0$ ) ¿hay una manera fácil de ver cuál de $E(X^2)$ y $E^2(X)$ es más grande?

La mejor toma hasta ahora de @wiskundeliefhebber:

Recordando que uno es al menos tan grande como el otro.
Entonces con $P(X=1) = P(X=-1) = 0.5$ sigue $E(X)=0$ y $E(X^2)=1$
Ergo $E^2(X) \leq E(X^2)$

nota a pie de página: $E^2(X)$ significa $(E(X))^2$

Answer 1

Si necesita ayuda para recordar: simplemente tome un $X$ con $E[X] = 0$ entonces está claro que $E[X^2] \ge E[X]^2$

Answer 2

¿Cuál es mayor que cuál? ¡Utiliza la expresión que ya tienes!

Recordando cómo se define el valor esperado (y/o que el valor esperado de una cantidad positiva tiene que ser no negativo), escribe

$$0 \leq \int_{X} (X-E[X]) d\mu = E[(X-E[X])^2] = E[X^2]-E[X]^2$$

para conseguir $E[X^2]\geq E[X]^2$ .

Sin embargo, esto no resuelve su problema en cuanto a recordando que es mayor o no. En este caso, sólo hay que memorizarlo. Es sencillo. La alternativa es volver a escribir lo anterior. Es decir, escribir

$$E[(X-E[X])^2] = E[X^2-2 X E[X] + E[X]^2] = E[X^2] -2 E[X] E[X] + E[X]^2 = E[X^2] - E[X]^2.$$

No tiene que preocuparse por conseguir la orden de $(X-E[X])$ vs $(E[X]-X)$ derecho. Después de elevar al cuadrado, ambos dan el mismo resultado.

¿Cuál es la forma más rápida de recordarlo? Bueno, tienes una expresión $A-B$ pero cuando se mira $(a-b)^2$ tienes $(a+b)^2=a^2+b^2+\mbox{stuff}$ . Esto significa que la sustracción proviene del término cruzado. Esto significa que el término restado tiene que ser un factor del término cruzado, es decir, $2E[X E[X]] = 2 E[X] E[X] = 2 E[X]^2$ . El 2 por supuesto se aleja del álgebra. Espero que eso ayude.

Answer 3

Supongamos que sólo hay 2 valores, $X\in \{x_{1},x_{2}\}$ ,
$\displaystyle E^{2}(X)=\frac{(x_{1}+x_{2})^2}{4}...(1)$
$\displaystyle E(X^{2})=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}}{2}...(2)$
$\displaystyle (2)-(1)=\frac{2x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}-x_{1}^{2}-2x_{1}x_{2}-x_{2}^{2}}{4}$
$\displaystyle =\frac{(x_{1}-x_{2})^{2}}{4}\ge0$ ,
por lo que $E(X^{2})\ge E^{2}(X)$ .

Answer 4

Una forma de ver la cosa de forma muy sencilla es pensar en ella como un caso especial de Desigualdad de Cauchy-Schwarz ,

donde Y _i s son todos P _i s.

Entonces por lo dado Desigualdad de Cauchy-Schwarz El resultado es el siguiente.