¿Debe el centralizador de un elemento de un Grupo abeliano?

Question

¿Debe el centralizador de un elemento de un Grupo abeliano?

Veo que la definición de centralizador:

Que $a$ ser un elemento fijo de un grupo $G$. El centralizador de $a$ $G$, $C(a)$, es el conjunto de todos los elementos en $G$ que se conmuten con $a$. En símbolos, $C(a)=\{g\in G \mid ga=ag\}$.

¿Pero esto no significa necesariamente que el centralizador es abeliano, hace?

Answer 1

Que $G$ ser cualquier grupo no-abeliano, y que $e$ ser la identidad del grupo. Para todos los $g\in G$, tenemos $$ge=eg=g,$$ so $c# (e) = G$ es no abeliano.

Answer 2

Un ejemplo que es una instancia específica de Orat la respuesta, en la configuración de la geometría del plano.

Tomar el diedro grupo $D_{2n}$ de las simetrías de un polígono regular con un número par de lados: consta de rotaciones del plano por los ángulos que son múltiplos de $\pi/n= \frac{2\pi}{2n}$, e $2n$ reflexiones ($n$ de ellos acerca de las diagonales de conexión opuesto par de vértices, y $n$ más acerca de las líneas de conexión de mediados de los puntos de los pares de lados opuestos).

Se puede comprobar que este grupo no es abelian. Pero el giro por el ángulo específico $\pi$, tiene a todo el grupo como su centralizador. Fácil de verificar bu tomar $n=4$, correspondiente a las simetrías de la forma cuadrada.

Answer 3

El centralizador de un elemento de un grupo no abeliano en general; $C(a)$ significa el subgrupo más grande de $G$ que su elemento conmuta con un elemento fijo $a$.

Si $a$ es un elemento del centro entonces $C(a) = G$. Así como un contraejemplo, $G = S_3$ y $a = 1$ es fino.