Base del espacio de Riemann-Roch $L(kP)$ en una curva

Question

Sea $C$ sea una curva compleja plana algebraica suave de grado $d$ definido como el lugar cero de un polinomio homogéneo $F$ .

Sea $P\in C$ . Para un número entero positivo $k$ considere el divisor $$D=kP$$

Sabemos que el Espacio de Riemann-Roch $L(D)$ de funciones meromórficas en $C$ con ceros prescritos y polos permitidos por $D$ es un espacio vectorial complejo de dimensión finita.

Pregunta: ¿Existe una forma estándar de encontrar una base de $L(kP)$ ?

Answer 1

Existen aproximadamente dos tipos de algoritmos utilizados para calcular las bases de los espacios vectoriales de Riemann-Roch: las técnicas algebraicas y las técnicas geométricas. Suponiendo que nuestra curva está definida por un polinomio irreducible F(x,y) sobre un campo base k, queremos construir la base del espacio vectorial L(D) para algún divisor D.

Técnicas algebraicas

Suponga que el divisor no tiene puntos en el infinito (cambie las variables si los tiene). Empieza con una base para todo tu campo de funciones algebraicas como $k(x)$ -módulo, típicamente $1, y, \ldots, y^{n-1}$ . Multiplicar por potencias de $(x-a)$ donde $a$ yace bajo tus puntos divisores, para poner todas las funciones base en L(D). A continuación, calcula expansiones en serie en cada uno de los puntos divisores y utiliza los coeficientes de dichas expansiones para formar una matriz determinada. Si su determinante es cero, entonces puedes construir una combinación lineal que sume cero y te permita reducir el orden de una función base manteniéndola en L(D). Sigue así hasta que el determinante no sea cero. Ahora tiene una $k[x]$ -base para su divisor EXCEPTO en el infinito. Miras tus expansiones en el infinito para determinar por qué potencias de x necesitas multiplicar para obtener una base k para L(D).

Referencia: Gilbert Ames Bliss, "Funciones Algebraicas", 1933, sección 20.

KANT/KASH, MAGMA y Sage utilizan un algoritmo mejorado descrito en un artículo de 2001 de Florian Hess, "Computing Riemann-Roch spaces in algebraic function fields and related topics". El algoritmo de Hess no requiere el cálculo de expansiones en serie, lo que puede convertirse en una barrera computacional.

Técnicas geométricas

Las técnicas geométricas se basan en la observación de que cualquier $f \in L(D-E)$ induce un homomorfismo lineal R de $L(-D)$ a $L(-E)$ donde R es el anillo de coordenadas de la curva, por lo que $L(D-E) \cong Hom_R(L(-D), L(-E))$ . Siempre podemos elegir D y E como divisores efectivos, lo que nos permite identificar $L(-D)$ y $L(-E)$ con ideales $I$ y $J$ en el anillo de coordenadas, y ahora $L(D-E) \cong Hom_R(I, J)$ .

Esto sugiere que $L(D-E)$ debe estar estrechamente relacionado con el cociente ideal $J:I$ . Esperamos que $L(D-E)$ para contener elementos del campo cociente. Esto puede remediarse eligiendo un elemento aleatorio $f$ de $I$ informática $(fJ):I$ y dividiendo por $f$ . Si la curva es no singular, esto funciona básicamente. Si la curva es singular, es necesario modificar este enfoque introduciendo una curva adyacente que intersecte la curva original en sus singularidades.

Tanto Singular como Macaulay 2 utilizan el enfoque geométrico que implica adjoints.

Ejemplo

La primera vez que respondí a esta pregunta en 2013, hice un ejemplo de cálculo con KASH 2.5. Ahora que ha salido Sage 9 (enero de 2020), tiene sentido volver a hacer el ejemplo con Sage.

Calcularé los elementos de base para $L(nP)$ en la curva elíptica $y^2 = x^3-x$ donde P es (0,0).

En primer lugar, establecí la curva algebraica:

sage: R.<x> = FunctionField(QQbar)
sage: S.<Y> = R[]
sage: L.<y> = R.extension(Y^2 - (x^3 - x))

Aunque la curva se especifica utilizando coordenadas afines y un polinomio no homogéneo, el cálculo se realiza en el espacio proyectivo.

Ahora verifico que $(0,0)$ es un punto ordinario de la curva:

sage: L.maximal_order().ideal(x,y).is_prime()
True

Utilizo maximal_order para trabajar con puntos en la parte finita del plano. También existe una maximal_order_infinite que me permitiría trabajar con puntos en el infinito, en igualdad de condiciones con los puntos finitos. Como he dicho, el cálculo se hace en el espacio proyectivo, aunque utilicemos coordenadas afines.

Para un suave curva, el ideal siempre será primo. En general, el ideal no sería primo si el punto fuera una singularidad. En ese caso, utilizaría L 's decomposition para "resolver" la singularidad, como se suele decir, pero en este ejemplo puedo seguir adelante y formar el divisor sin tener que resolver ninguna singularidad:

sage: D = L.maximal_order().ideal(x,y).divisor()

Ahora sólo tengo que utilizar el algoritmo de Hess para calcular los elementos de base de los espacios de Riemann-Roch:

sage: D.basis_function_space()
[1]
sage: (2*D).basis_function_space()
[1, 1/x]
sage: (3*D).basis_function_space()
[1, 1/x, 1/x^2*y]
sage: (4*D).basis_function_space()
[1, 1/x, 1/x^2, 1/x^2*y]

Los resultados son:

$$L(1P) = \{1\}\\ L(2P) = \{1, \frac{1}{x}\}\\ L(3P) = \{1, \frac{1}{x}, \frac{y}{x^2}\}\\ L(4P) = \{1, \frac{1}{x}, \frac{1}{x^2}, \frac{y}{x^2}\}$$