Distinguir una función de matrices

Question

Supongamos que tengo una función $\phi(M):=M^n$ donde $M\in M_n(R)$

¿Tiene algún sentido hablar de la derivada de esta función? ¿Qué significaría si tiene sentido? Me pregunto también cuál sería el derivado (si existe y es significativa). (Tal vez $nM^{n-1}$?)

Gracias.

Answer 1

Sí, tiene sentido hablar sobre los derivados de las funciones de $f:V\to W$ donde $V$ $W$ son una normativa espacio vectorial, por ejemplo.

En este caso, decimos que la $f$ es diferenciable en a $x\in V$ si existe un mapeo lineal $Df(x):V\to V$ tal que

$$ \lim_{h\to 0}\frac{\|f(x+h)-f(x) Df(x)h\|}{\|h\|}=0 $$

En su caso particular, se podría calcular la derivada de $M\mapsto M^n$ mediante el uso de un $n$-aplicación lineal dada por $$ \varphi(A_1,\ldots,A_n)=A_1\cdot\ldots\cdot A_n. $$

Usted puede demostrar por cualquier $X=(X_1,\ldots,X_n)\in M_n(R)\times\ldots\times M_n(R)$ ($n$-veces) que

$$ D\varphi(X)(H_1,\ldots,H_n)=\sum_{i=1}^n \varphi(X_1,\ldots,X_{i-1},H_i,X_{i+1},\ldots,X_n). $$

Por tanto, la fórmula que desea debe ser interpretado como la derivada de la $\varphi$ $X=(M,\ldots,M)$ aplicado en $(Id,\ldots,Id)$. Que es equivalente a lo que hacemos cuando escribimos esta fórmula para la real y complejas funciones.

Answer 2

Versión del laico:

Comienzan con $n=1$: $f(M) = M$. Entonces $Df(M) = DM = I$.

For $n=2$: $f(M) = M*M$. Aplicar la regla del producto: $$Df(M) = (DM) * M + M * (DM) = I*M + M*I = 2M$ $

Inducción general $n\geq2$, suponiendo que $D(M^{n-1}) = (n-1)*M^{n-2}$: $f(M) = M*M^{n-1}$. Regla del producto: inducción de uso $$Df(M) = (DM) * M^{n-1} + M * D(M^{n-1}).$ $: $$D(M^{n-1}) = (n-1)M^{n-2}.$$ Then $% $ $Df(M) = I * M^{n-1} + M*(n-1)*M^{n-2} = n*M^{n-1}.$

QED.

Por supuesto, asumo que es la regla del producto.