Encontrar un mapa conformal de dominio lunar en el disco la mitad superior

Question

¿Existe un mapa conformal de la región $\Omega = \{z :|z|<1\} \cap \{z: |z- \frac{1+i}{\sqrt2}|<1\}$ en la región $\{z: |z|<1, \operatorname{Im}z>0\}$?

Creo que es necesario encontrar el punto de intersección de al menos tres de los dos círculos y asignados al eje real utilizando la fórmula de transformación lineal fraccional. Incluso tengo dificultades para encontrar los puntos de intersección. Realmente agradeceria si alguien lo hace con rigor. Esto no es un problema de tarea. Se trata de la colección de exámenes anteriores de qual.

Answer 1

Aquí es la manera estándar de mapa de cualquier dominio delimitado por dos arcos circulares, o un arco circular y un segmento de línea, a un semiplano. Haciendo esto para ambos de estos dominios y componer un mapa con la inversa de la otra le da el mapa deseado.

Encontrar un lineal fraccional de transformación de la asignación de los puntos de intersección a$0$$\infty$. Los dos arcos de la frontera se asignará a los rayos de$0$$\infty$, por lo que la imagen será un sector de algunas ángulo de apertura $\alpha$ (que es el ángulo en el que los dos círculos o círculo/segmento de la línea de intersección.) Luego componer con un mapa de poder $z \mapsto z^\beta$ tal que $\alpha \beta = \pi$, que se asigna al sector a medio-plano.

(Puede que tenga que girar la mitad de los aviones para obtener el mismo para ambos de sus dominios, dependiendo de la elección de la LFT en el primer paso).