El % integral $\int_0^\infty \dfrac{x \sin(x)}{x^2+1} dx$

Question

Cómo calcular: $$\int_0^\infty \frac{x \sin(x)}{x^2+1} dx$$ Pensé que debía encontrar la integral en el camino $[-R,R] \cup \{Re^{i \phi} : 0 \leq \phi \leq \pi\}$.

Me puede fácilmente tomar el residuo en $i$ $$ Res_{z=i} \frac{x \sin(x)}{x^2+1} \quad = \quad \frac{i (e^{ii}-e^{-ii})}{2i} \quad = \quad \frac{i(\frac1e-e)}{2i} \quad = \quad \frac1{2}-\frac e2 $$ Sé que la integral en $[-R,R]$ recibirá cerca del valor real de $ \frac12\int_0^\infty \frac{x \sin(x)}{x^2+1} dx$. Eso significa que yo estoy hecho, si me muestran que la integral en la otra parte de la ruta de acceso será pequeño, aquí es un intento de hacerlo:

$$ \left|\frac{x \sin(x)}{x^2+1} \right| \quad \leq \quad R \cdot \frac{|\sen x|}{R^2-1} $$ Yo podría reescribir $\sin x$ pero se vuelve desagradable. Me pueden ayudar con esto?

Answer 1

Recuerde que $\sin x=(\exp(ix)-\exp(-ix))/2i$, e $\exp(-ix)$ crece grande en la mitad superior del plano. Tiene que integrar la $\exp(ix)$ parte en la mitad superior del plano, y el $\exp(-ix)$ en la mitad inferior del plano.

Además, la mitad superior del plano-es $0<\phi<\pi$, no $2\pi$.

El truco de completar el bucle hace dos cosas.
En primer lugar, la integral alrededor de un bucle es igual a la suma de los residuos, que son fáciles de calcular.

En segundo lugar, el exceso de semicírculo implica grandes valores de $x$, por lo que la función es muy pequeña a lo largo del semicírculo, y la contribución a lo largo del semicírculo es insignificante. Así, juntos, la integral desea - a lo largo del diámetro, además de la cantidad insignificante a lo largo del semicírculo, es igual a la suma de los residuos.

Lo que hacen algunos esfuerzos para asegurar la integral a lo largo del semicírculo es insignificante. $\exp(iz)=\exp(ix-y)$, por lo que su valor absoluto es $e^{-y}$. La mitad superior del plano está bien para integrar a $\exp(iz)z/(1+z^2)$.

Pero $\exp(-iz)$ tiene valor absoluto $e^y$, por lo que las contribuciones serán grandes en la mitad superior del plano. Integramos $\exp(-iz)z/(1+z^2)$ en la mitad inferior en avión. La integral a lo largo del diámetro es el mismo que siempre fue, pero el residuo es ahora en sentido antihorario alrededor de $-i$.

Answer 2

Voy a compartir mi trabajo con ustedes, y espero que usted me puede decir si la he entendido todo bien. He utilizado dos caminos:

$$ \left\{ \begin{array}{ll} A \quad = \quad [-R,R] \ \cup \ \{Re^{i\phi} \ : \ 0 \leq \phi \leq \pi\} \\ B \quad = \quad[-R,R] \ \cup \ \{Re^{i\phi} \ : \ \pi \leq \phi \leq 2\pi\} \end{array} \right. $$ Yo llame a la parte superior del círculo de $U$, fin de la parte inferior del círculo de $L$. Tanto en $A$ $B$ será seguido contador clockwiseley. Me separé de la integral como $$ -\frac{1}{2} \left( \int_\mathbb{R} \frac{xe^{i \phi}}{x^2+1}dx \quad \quad \int_\mathbb{R} \frac{xe^{i \phi}}{x^2+1}dx \right) $$ A continuación, me tomó $$ \int_A \frac{xe^{i \phi}}{x^2+1}dx \quad = \quad \int_{-R}^R \frac{xe^{i \phi}}{x^2+1}dx \ + \ \int_U \frac{xe^{i \phi}}{x^2+1}dx $$ En $U$, tenemos, para valores altos de $R$ $$ \pi R \cdot \left| \frac{xe^{i \phi}}{x^2+1} \right| \ \leq \ \frac{R}{R^2-1} \cdot \frac{\pi R}{| e^{I \sin \phi}|} \ \rightarrow \ 0 $$ debido a $\sin \phi < 0$ en esta parte. Es fácil mostrar que la integral en $L$$0$, así que me la pase por alto.

Puede ser fácilmente demostrado que el residuo en $i$ es igual a $\frac{1}{2e}-\frac e2$, y que el residuo en $-i$ es igual a $-\frac{1}{2e}+\frac e2$. Ahora nos encontramos con: $$ \int_\mathbb{R}\frac{x \sin x}{x^2+1}dx \quad = \quad 2 \int_{\mathbb{R}^+}\frac{x \sin x}{x^2+1}dx \quad = \quad 2(\frac{1}{2}-\frac e2) \quad = \quad \frac{1}{e}- e $$ Espero que alguien podría comprobar esto.