Automorphisms de grupos libres

Question

Supongamos que $U$ es un subgrupo de índice finito en el grupo libre sobre $k$generadores $F_k$.

¿Supongo que $\sigma$ es un automorfismo de $F_k$ tal que $\sigma|_U = \text{id}$, entonces debe $\sigma = \text{id}$?

Answer 1

Así que...resulta que esta es una de las situaciones en las que leer una frase en un papel, y sólo después de pasar siempre pensando en el por qué de su verdad, que se nota que la frase termina en dos puntos, y la próxima sentencia de la prueba. Básicamente, la prueba es esta:

Deje $g_1,\ldots,g_k$ ser el libre generadores de $F_k$. Entonces para cualquier $i$ podemos construir un surjective homomorphism $F_k\rightarrow\mathbb{Z}$ el envío de cualquier palabra en $F_k$ el número de $g_i$'s que aparecen en esa palabra. Si no hay alimentación de $g_i$$U$, $U$ está contenida en el núcleo de este homomorphism, y por lo tanto debe ser infinito índice. Por lo tanto, para cada $i$, hay un $n$ tal que $g_i^n\in U$. Pero eso significa que $\sigma(g_i)^n = \sigma(g_i^n) = g_i^n$, y desde $F_k$ es libre, eso significa que $\sigma(g_i) = g_i$. Puesto que el $g_i$'s de generar $F_k$, $\sigma = \text{id}$.