¿Por qué converger esta serie?

Question

Mi pregunta es:

¿Por qué la serie $$ \sum_{j,k=1}^\infty \frac{1}{j^4+k^4} $$ convergen?

He probado la convergencia con Mathematica y Octava, pero no puedo encontrar una prueba analítica. De hecho, los cálculos numéricos sugieren que el valor de la serie es $<1$.

---

Una cosa obvia sería el uso de la generalización de la serie armónica para ver que \begin{align} \sum_{j,k=1}^\infty \frac{1}{j^4+k^4} &= \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{2k^4} + \sum_{j,k=1; j\neq k} \frac{1}{j^4+k^4} \\ &= \frac{\pi^4}{180} + \sum_{j=1}^\infty \sum_{k=1}^{j-1} \frac{1}{j^4+k^4} + \sum_{j=1}^\infty \sum_{k=j+1}^{\infty} \frac{1}{j^4+k^4}\\ &\leq \frac{\pi^4}{180} + \sum_{j=1}^\infty \sum_{k=1}^{j-1} \frac{1}{(j-k)^4} + \sum_{j=1}^\infty \sum_{k=j+1}^{\infty} \frac{1}{(j-k)^4} \end{align} pero, por desgracia, los últimos dos (doble)de la serie no converge.

---

El problema surge cuando se intenta estimar Hilbert-Schmidt norma del Laplaciano en $H^2(\mathbb{T}_\pi^2)$.

Answer 1

Puede utilizar la desigualdad $2xy\le x^2+y^2$ (visto por expansión $(x-y)^2\ge0$) a $2j^2k^2\le j^4+k^4$: $$\sum_{j,k=1}^\infty\frac1{j^4+k^4}\le\frac12\sum_{j=1}^\infty\sum_{k=1}^\infty\frac1{j^2}\frac1{k^2}=\frac12\Bigl(\sum_{j=1}^\infty\frac1{j^2}\Bigr)^2<\infty.$ $

Answer 2

¿Por qué la serie converge?

Debido a que el número de términos $N_n$ en el doble de la suma tal que $j^4+k^4\leqslant n$ es tal que $N_n\leqslant c\sqrt{n}$ y porque el doble de la serie es exactamente $$ \sum_{n\geqslant1}\frac1n(N_n-N_{n-1})=\sum_{n\geqslant1}\frac{N_n}{n(n+1)}\leqslant\sum_{n\geqslant1}\frac{c\sqrt{n}}{n^2}, $$ que converge.

Para mostrar que el límite superior $N_n$ tenga en cuenta que los puntos de $(j,k)$ tal que $j^4+k^4\leqslant n$ están en el (Euclidiana) de la bola centrada en $(0,0)$ radio $R_n=\sqrt[4]{2n}$ desde $(j^2+k^2)^2\leqslant2(j^4+k^4)$. Ahora, $N_n$ enumera puntos en el primer cuadrante única, por lo tanto $N_n\leqslant\frac14\pi R_n^2\leqslant 1.12\cdot\sqrt{n}$.

La potencia de este enfoque es reducir la determinación de la (absoluta) la convergencia de cualquier positivos doble de la serie $$ \sum\limits_{(j,k)\in\mathbb Z^2}\frac1{\varphi(j,k)} $$ para una estimación del número de $N_n$ de los índices de $(j,k)$ tal que $\varphi(j,k)\leqslant n$. Tan pronto como la serie de $\sum\limits_{n\geqslant1}\frac{N_n}{n^2}$ converge, por ejemplo, debido a $N_n=O(n^\alpha)$$\alpha\lt1$, uno sabe que el doble de la serie converge (y, de hecho, esta condición es necesaria).

Answer 3

Agrupando los términos por $i = (j + k)$, obtenemos $$ \sum_{i = 2} ^ \infty\: \: \sum_{j, k \gt 0; j + k = i} \frac{1}{j^4 + k ^ 4} $$ se puede estimar que la suma interna, $\sum_{j, k \gt 0; j + k = i} \frac{1}{j^4 + k^4} \leq\frac{i - 1}{(i/2)^4}$, ya que contamos con $j^4 + k^4 \geq \left(\frac{j + k}{2}\right)^4 = (i/2)^4$. Así que tenemos que comprobar si la suma $$\sum_{i = 2}^\infty \frac{i-1}{(i/2)^4}$ $ converge. Pero vemos que \frac{i-1 $$} {(i/2) ^ 4} = \frac{2 (i - 1)} {i(i/2) ^ 3} = \frac{2 (1-1/i)} {(i/2) ^ 3} = \frac{2 - 1 / i} {i ^ 3/8} \leq \frac{16}{i^3} $$ $i \geq 2$. Esto se ve fácilmente que convergen, y por lo tanto debe converger la serie original.

Answer 4

Sencilla aplicación de prueba de comparación: $$ \sum_{j,k=1}^\infty \frac{1}{j^4+k^4} < \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{j^4} = \frac{\pi^4}{90} $$