¿Cómo determinar los principales ideales de un campo intermedio $p$?

Question

$\mathbb{Q}\subset \mathbb{Q}( \sqrt{5}, \sqrt{13})\subset \mathbb{Q}(\xi_{65})$. Estoy tratando de los ideales primos en el anillo de enteros de $\mathbb{Q}( \sqrt{5}, \sqrt{13})$ por encima del $2,3$.

Puesto que el anillo de enteros de $\mathbb{Q}( \sqrt{5}, \sqrt{13})$ no es cuadrático, no podemos aplicar el lema de Dedekind-Kummer. También traté de hacer la factorización de $(2)$ en el anillo de enteros de $\mathbb{Q}(\xi_{65})$ primero y tratar de empujar hacia abajo el anillo de enteros de $\mathbb{Q}( \sqrt{5}, \sqrt{13})$. Pero de esta manera parece no ser factible.

¿No puedo averiguar cualquier método para hacerlo, alguna idea por favor?

Answer 1

Usted puede aplicar Dedekind-Kummer dos veces, usted sólo tiene que elegir apropiado elementos primitivos.

Vamos $\alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, $\beta=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$, $F=\mathbb{Q}(\alpha)=\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ y $K=F(\beta)=\mathbb{Q}(\sqrt{5},\sqrt{13})$. Podemos comprobar que $\{1,\alpha \}$ $\{1,\alpha,\beta, \alpha \beta\} $ son parte integral de la base de $\mathcal{O}_F$$\mathcal{O}_K$, en particular,$\mathcal{O}_F=\mathbb{Z}[\alpha]$$\mathcal{O}_K=\mathcal{O}_F[\beta]$.

Ahora para una extensión de los campos de número de $L \subset M=L(\gamma)$ donde $\gamma \in \mathcal{O}_L$ Dedekind-Kummer se aplica a cualquier prime $\mathfrak{p}$ $\mathcal{O}_L$ mientras $[\mathcal{O}_{M}:\mathcal{O}_{L}[\gamma]] \notin \mathfrak{p}$.

Así que si la aplicamos a primera $L=\mathbb{Q}$, $\gamma=\alpha$ y $\mathfrak{p}=2 \, \mathbb{Z}$ (lo que podemos porque $\mathcal{O}_F=\mathbb{Z}[\alpha]$ ) dado el polinomio mínimo de a $\alpha$ $\mathbb{Q}$ es igual a $x^2-x-1$ (irreductible mod 2) tenemos que $2 \,\mathcal{O}_F $ es primo.

Si aplicamos esto a $L=F$, $\gamma=\beta$ y $\mathfrak{p}=2 \, \mathcal{O}_F$ (donde de nuevo utilizamos $\mathcal{O}_K=\mathcal{O}_F[\beta]$) , el polinomio mínimo de a$\beta$$F$$x^2-x-3$, con lo cual el factor de $(x-\alpha)(x-\alpha')$ mod $\mathfrak{p}$ donde $\alpha'=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$. Por lo tanto $2 \, \mathcal{O}_K =\mathfrak{p} \, \mathcal{O}_K $ factores $(2,\beta-\alpha)\cdot (2,\beta-\alpha')$$\mathcal{O}_K$.

En una manera similar podemos ver que 3 es inerte en $F$ y el factor de $(3,\beta)\cdot (3,\beta-1)$$\mathcal{O}_K$.

Answer 2

En biquadratic extensiones, uno puede determinar la división de un primer examinando su desdoblamiento en la cuadrática subcampos. Aquí, el cuadrática de los subcampos son $ \mathbf Q(\sqrt{5}) $, $ \mathbf Q(\sqrt{13}) $, $ \mathbf Q(\sqrt{65}) $ respectivamente. $ 2 $ permanece inerte en los primeros dos, y se divide en la tercera, $ 3 $ permanece inerte en la primera y la tercera, y se divide en la segunda. Compositums de unramified extensiones son unramified, por lo tanto, $ 2, 3 $ son tanto unramified en $ K = \mathbf Q(\sqrt{5}, \sqrt{13}) $. Así disponemos de suficiente información para concluir que tanto $ 2 $ $ 3 $ split como el producto de dos números primos en $ K $.

Para encontrar estos números primos, lo primero que nos encontramos con ellos en la planta baja, en el cuadrática extensiones donde ocurre la separación. Nos encontramos con la factorizations

$$ (2) = \left( 2, \frac{1 + \sqrt{65}}{2} \right) \left(2, \frac{-1 + \sqrt{65}}{2} \right) $$

$$ (3) = \left( 3, \frac{1 + \sqrt{13}}{2} \right) \left( 3, \frac{-1 + \sqrt{13}}{2} \right) $$

el uso de Dedekind del criterio en $ \mathbf Q(\sqrt{65}) $ $ \mathbf Q(\sqrt{13}) $ respectivamente. Por lo que sabemos anteriormente; estos primos acostado en el cuadrática campos deben permanecer inerte cuando se va al piso de arriba a $ K $, por lo tanto, estos factorizations son también el primer ideal factorizations de $ 2 $$ 3 $, válido en $ K $.

Answer 3

Si te ayuda, eso es lo que que sagemaths dice :

 Q.<x> = QQ[]; K.<a,b> = NumberField([x^2-5,x^2-13])
 OK = K.ring_of_integers(); OK.basis()
 >> [3/2*a - b + 1/2, 3*a - 2*b, (-1/4*b + 11/4)*a - 7/4*b + 9/4, 11/2*a - 7/2*b]
 I = OK.ideal(2); I.factor()
 >> (1/2*a + 1/2*b + 1) * ((-1/4*b + 3/4)*a - 1/4*b + 7/4)
 J = OK.ideal(3); J.factor()
 >> (1/2*b - 1/2) * (1/2*b + 1/2)