Evaluar

Question

Tengo este límite: $$\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1-x)-\sin x}{1-\cos^2 x}$ $ y el problema es que no existe. Pero yo no soy muy perceptivo y no evitar coger en una trampa y empecé a tratar de solucionar el problema con regla de L'Hôpital. Y mi pregunta es: ¿hay alguna manera de darse cuenta de que determinado no existe en el tiempo? Si me dieron ese límite en una prueba, ¿cuál es la forma ideal para solucionarlo?

Answer 1

Una manera posible es volver a escribir como

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (1-x)-\sin x}{1-\cos ^{2}x} =\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\dfrac{\ln (1-x)}{\sin x}-1}{\sin x}\tag{0}$$

y evaluar por la regla de L'Hôpital

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (1-x)}{\sin x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\frac{-1}{ 1-x }}{\cos x}=-1.\tag{1}$$

En consecuencia,

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (1-x)-\sin x}{1-\cos ^{2}x}=\infty .\tag{2}$$

Nota: En vista de Marvis' comentario que agregar que este límite es $\infty$ sin signo. El lado límites dependen del denominador de $(0)$, ya que su numerador es $-2$ en el límite. Para $x>0$ $\sin x>0$ y para $x<0$ $\sin x<0$. Por lo tanto

$$\lim_{x\rightarrow 0^+}\frac{\ln (1-x)-\sin x}{1-\cos ^{2}x}=-\infty. \tag{2a}$$

$$\lim_{x\rightarrow 0^-}\frac{\ln (1-x)-\sin x}{1-\cos ^{2}x}=+\infty. \tag{2b}$$

Añadido: Otra forma de calcular las $(1)$ es escribir

$$\frac{\ln (1-x)}{\sin x}=\frac{\ln (1-x)}{x}\cdot \frac{x}{\sin x}$$

y el uso de la escuela primaria, los límites de

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\ln (1-x)}{x}=-1,$$

$$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x}{\sin x}=1.$$

Answer 2

Enfoque de la serie de Maclaurin.

$\ln(1-x)\sim -x$, $1-\cos^2 x\sim x^2/2$ and $\sin x\sim x$ for $x \to 0$. A continuación:

$$\frac{\ln(1-x)-\sin x}{1-\cos^2 x}\sim \frac{-2x}{x^2/2}\to\infty$$

Answer 3

Estoy viendo el límite a - ∞ si x acerca a 0 por el lado positivo, y + ∞ si x acerca a 0 desde el lado negativo.

He utilizado la regla de L'Hôpital una vez. El límite es entonces de la forma -2/0. El signo del límite cambia dependiendo de si x se acerca desde el lado positivo o negativo.