Problema: Factor $X^{12}-1$ en irreducibles en $ \mathbb {F}_5[X]$ . Este problema apareció en una calificación pasada y me tomó un tiempo para hacerlo. Mientras lo resuelvo, necesitaré hacer problemas como este mucho más rápido para tener una oportunidad de pasar. Al menos, me preguntaba si había una manera rápida de decir que $X^4-X^2+1$ no es irreducible en $ \mathbb {F}_5[X]$ .
Mi solución: Primero factoricé este polinomio sobre $ \mathbb {Z}[X]$ como $$(X-1)(X+1)(X^2+X+1)(X^2+1)(X^2-X+1)(X^4-X^2+1)$$ a través de la fórmula $X^n-1 = \prod\limits_ {d \mid n} \Phi_d (X)$ donde $ \Phi_d $ es el $d$ el polinomio ciclotómico. El primer $5$ irreducibles pueden ser fácilmente comprobados para que permanezcan irreducibles al ir al módulo $5$ (comprobando si tienen una raíz), por lo que la parte difícil del problema es comprobar si el $12$ el polinomio ciclotómico, $X^4-X^2+1$ sigue siendo irreducible en $ \mathbb {F}_5[X]$ .
Es fácil ver que $ \Phi_ {12}$ no tiene raíces en $ \mathbb {F}_5$ así que tendría que ser un producto de dos cuadráticos. Supuse que era un factor, como $$X^4-X^2+1 = (X^2 + aX+b)(X^2+cX+d)$$ Expandí el lado derecho como $X^4 + (a+c)X^3 + (b+ac+d)X^2 + (bc+ad)X + bd$ así que tuve las relaciones
(i): $a+c = 0$
ii) $b+ac+d =-1$
iii) $bc+ad=0$
iv) $bd = 1$ .
Empecé considerando el caso en el que $a \neq 0$ (Ya había comprobado que $ \Phi_ {12}$ no podía factorizar como un producto $(X^2 +e)(X^2+f)$ ), de modo que también $c \neq 0$ . Multipliqué (iii) por $d$ para conseguir $c+ad^2 = 0$ y restó (i) de esto para obtener $ad^2-a = 0$ o $d^2 = 1$ .
Así que $d = \pm 1$ . Primero supuse $d = 1$ para que también $b=1$ . Luego $a, c$ eran elementos no nulos que satisfacían $a+c = 0$ y $ac + 2 = -1$ o $ac = 2$ . Para $ac = 2$ sólo podemos tener $\{a,c\} = \{3,4\}$ o $\{a,c\} = \{1,2\}$ y en ninguno de esos casos podríamos tener $a+c = 0$ .
Lo siguiente que supuse $d = -1$ para que también $b = -1$ . Luego $a, c$ eran elementos no nulos que satisfacían $ac=1$ y $a+c = 0$ . Esta relación se satisface con $a = 2, b = 3$ . Así que miré el producto $$(X^2+2x-1)(X^2+3X-1)$$ que se expande como $X^4+5X^3+4X^2-5X+1$ que es $X^4-X^2+1$ en $ \mathbb {F}_5[X]$ .
