¿Encontrar un límite - es mi argumento correcto?

Question

El límite es de: $$ \lim_{\lambda\to 0} \frac{\int_{\lambda}^{a}{\frac{\cos(x)}{x}dx}}{\ln\lambda}. $ $

Mi argumento es:

Primero reescribir el integral: $$ \lim_{\lambda\to 0} \frac{\int_{0}^{a}{\frac{\cos(x)}{x}dx} - \int_{0}^{\lambda}{\frac{\cos(x)}{x}dx}}{\ln\lambda}. $ $

Utilizar la regla de l'Hopital. El primer término en la parte superior desaparece como lo ha hecho no $\lambda$ dependencia. El segundo término se encuentra aplicando el Teorema fundamental del cálculo. Para recibir:

$$ \lim_{\lambda\to 0} \frac{-{\frac{\cos(\lambda)}{\lambda}dx}}{\frac{1}{\lambda}} = \lim_{\lambda\to 0}{-\cos(\lambda)} = -1. $$

¿Hay algún problema con mi argumento?

Answer 1

Sólo hay dos pequeños problemas.

Usted no puede calcular las dos caras límite, porque $$ \int_{0}^{a}\frac{\cos x}{x}\,dx $$ no convergen. Así que, asumiendo $a>0$, el límite sólo puede ser calculada para $\lambda\to0^+$.

Usted tiene $$ \int_{\lambda}^\frac{\cos x}{x}\,dx= -\int_a^{\lambda}\frac{\cos x}{x}\,dx $$ y la derivada es $$ -\frac{\cos\lambda}{\lambda} $$ sin la necesidad de dividir la integral (por cierto, que eligió el camino equivocado para dividir, porque $\int_0^a\frac{\cos x}{x}\,dx$ no existe, como se dijo anteriormente).

En todo detalle, para $a>0$, $$ \lim_{\lambda\to0^+} \frac{\displaystyle\int_{\lambda}^\frac{\cos x}{x}\,dx}{\ln\lambda}= \lim_{\lambda\to0^+} \frac{-\dfrac{\cos \lambda}{\lambda}}{\dfrac{1}{\lambda}}= \lim_{\lambda\to0^+}-\cos\lambda=-1 $$

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Tenga en cuenta que l'Hôpital se puede aplicar a las formas $\dfrac{\text{whatever}}{\infty}$. Sin embargo, también es fácil ver que $$ \lim_{\lambda\to0^+}\int_\lambda^a\frac{\cos x}{x}\,dx=\infty $$ porque en el intervalo de $[0,\pi/3]$ tenemos $\cos x\ge\frac{1}{2}$, por lo que $$ \int_\lambda^a\frac{\cos x}{x}\,dx= \int_\lambda^{\pi/3}\frac{\cos x}{x}\,dx+ \int_{\pi/3}^\frac{\cos x}{x}\,dx\ge \frac{1}{2}\int_\lambda^{\pi/3}\frac{1}{x}\,dx+ \int_{\pi/3}^\frac{\cos x}{x}\,dx $$ así, por comparación, se obtiene el límite requerido.