Ejemplos de espacios de Banach

Question

Cuáles de las siguientes son espacios de Banach?

A. El conjunto de todos los reales valores de las funciones $f$, $g$ cuales son las funciones de una variable independiente $t$ y se definen y se continua en el intervalo cerrado $[0,1]$, con la norma $$\|f\|=\max_{t \in [0,1]} |f(t)|. $$

B. El conjunto de todos los real continua de las funciones con valores en $[0,1]$ y $$\|f\|=\int_0^1 f(t) dt. $$

C. Todos los polinomios en $(0,1)$ con coeficientes complejos con $$\|f\| = \sup_{t \in [0,1]} |f(t)|. $$

Mi respuesta:

R. Sí, es un espacio de Banach como el conjunto de todos los reales valores de funciones continuas en $[0,1]$ es completa con respecto a la métrica de $$d(f,g)=\max_{t \in [0,1]} |f(t)-g(t)|.$$

Es correcto? Yo no soy capaz de completar las partes B. y C..

Answer 1

R: Sí, tu respuesta es correcta. Tal vez debería probar.

B: Imagínate una función de $f_n$ que es cero en $[0,1/2-1/n]$, $1$ en $[1/2 + 1/n, 1]$ y lineal en el medio. A continuación, calcular su integral y su función de límite (límite en el $L^1$-norma, suponiendo que faltan un valor absoluto en B).

C: ¿has oído hablar del teorema de aproximación de Stone-Weierstrass? Se dice que, con respecto al $\sup$-norma para cualquier función continua no es un polinomio arbitrariamente cerca de ella. Lo que significa que para cada función continua no es una secuencia de polinomios convergentes. Ahora vamos a $f$ ser cualquier función continua que no es un polinomio...

Answer 2

Sugerencia para B: falta un valor absoluto en$f(t)$:$$\lVert f \rVert = \int_0^1 \lvert f(t)\rvert dt.$ $ Luego trate de construir una secuencia de funciones continuas lineales que convergen en esta norma a algo que tiene una discontinuidad de salto.

Sugerencia para C: Piensa$e^t$, o más generalmente una función analítica.