La carrera más larga de cabezas

Question

Vamos a ser $X_1, X_2,\; \ldots $ independientes e idénticamente distribuidas (i.yo.d.) variables aleatorias con distribución habitual: $\mathbb{P}(X_k=1)=p,\; \mathbb{P}(X_k=0)=1-p $. Podemos fijar un $\lambda > 1$ parámetro y deje $A_k^{(\lambda)}$ denotar los siguientes eventos: $k=1, 2, 3, \dots $ $$ A_k^{(\lambda)}: = \{ \exists r \in [[\lambda^k], [\lambda^{k+1}]-1]\cap\mathbb{N}: X_r=X_{r+1}= \dots =X_{r+k-1}=1\} $$ where $[\lambda^k]$ denotes the floor. I.e.: $A_k^{(\lambda)} $ event means that between $[\lambda^k]$a and $[\lambda^{k+1}]-1$ exists a $k$ largo plazo. Vamos a probar:

a) Si $\lambda &lt p^{-1}$ $A_k^{(\lambda)} $ eventos se produce sólo para un número finito de k con probabilidad de 1.

b) Si $\lambda > p^{-1}$ $A_k^{(\lambda)} $ eventos ocurre infinidad de veces con probabilidad de 1.

c) ¿Qué sucede cuando $\lambda=p^{-1}$?

Cualquier ayuda se agradece.

Answer 1

Las tres partes son consecuencias de Borel-Cantelli los lemas de ahí comenzamos por el control de la probabilidad de $A^{(\lambda)}_k$.

Por un lado, este evento implica en la mayoría de las $\lambda^{k+1}-\lambda^k$ (no independiente) eventos de probabilidad $p^k$ por lo tanto, la introducción de $\mu=\lambda-1\gt0$, $$ \mathrm P(a^{(\lambda)}_k)\leqslant \mu\cdot(p\lambda)^k. $$ Por otro lado, la descomposición de la intervalo de $(\lambda^k,\lambda^{k+1})$ en distintos intervalos de longitud de $k$, se obtiene, al menos, $\mu\lambda^k/k$ (independiente) eventos de probabilidad $p^k$ por lo tanto $$ \mathrm P(a^{(\lambda)}_k)\geqslant 1-(1-p^k)^{\mu\lambda^k/k}. $$ Estas dos estimaciones implican los siguientes:

• En el caso (a), $p\lambda\lt1$ por lo tanto $\sum\limits_k\mathrm P(A^{(\lambda)}_k)$ converge y la primera Borel-Cantelli lema lleva a la conclusión en su post.

• En el caso (b), $p\lambda\gt1$ por lo tanto $(1-p^k)^{\mu\lambda^k/k}\to0$, $\mathrm P(A^{(\lambda)}_k)\to1$ y $\sum\limits_k\mathrm P(A^{(\lambda)}_k)$ diverge. Desde los acontecimientos $(A^{(\lambda)}_k)_k$ son independientes, la segunda Borel-Cantelli lema lleva a la conclusión en su post.

• En el caso (c), $(1-p^k)^{\mu\lambda^k}=(1-p^k)^{\mu/p^k}\to\mathrm e^{-\mu}\gt0$ por lo tanto $\mathrm P(A^{(\lambda)}_k)\geqslant (\mu+o(1))/k$ y el segundo Borel-Cantelli lema muestra que, casi seguramente, infinidad de eventos $A^{(\lambda)}_k$ se producen.