¿Las secuencias no$\ell^2$ tienen un$\ell^2$ funcional que las lleva al infinito?

Question

Supongamos que$\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ es una secuencia de números reales (supongamos también positivo por simplicidad) de modo que$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n^2 = \infty$ $ ie la suma diverge.

¿Puede necesariamente encontrar una secuencia de suma cuadrada$\{b_n\}_{n=1}^{\infty}\in\ell^2$ para que$\sum_{n=0}^{\infty} a_n b_n = \infty$?

Answer 1

Suponer sin pérdida de generalidad que $a_1\ne0$ y considerar, para cada $n\geqslant1$, $$ b_n=\frac{a_n}{A_n},\qquad A_n=\sum_{k=1}^na_k^2. $$ Entonces
$$ \sum_na_nb_n=\sum_n\frac{a_n^2}{A_n},$$ que diverge por un resultado estándar (vea también el argumento en un comentario más abajo). Por otro lado, $A_n^2\geqslant A_nA_{n-1}$ $a_n^2=A_n-A_{n-1}$ por lo tanto, para cada $n\geqslant2$, $$ b_n^2\leqslant\frac{a_n^2}{A_nA_{n-1}}=\frac1{A_{n-1}}-\frac1{A_n}. $$ Sumando los rendimientos, $$ \sum_{n\geqslant1}b_n^2\leqslant b_1^2+\sum_{n\geqslant2}\left(\frac1{A_{n-1}}-\frac1{A_n}\right)=b_1^2+\frac1{A_1}=\frac2{a_1^2}. $$ en particular, la serie de $\sum\limits_nb_n^2$ converge.

Answer 2

Si$a_n$ no tiene límites, entonces es fácil. De lo contrario wlog$|a_n| \le 1$. Elija números enteros$0=j_0 < j_1 < j_2 < \cdots$ tal que$$ \sum_{n=j_{k-1}+1}^{j_k} a_n^2\in [2^k, 2^k+1) .$ $ Ahora permita$$ b_n = 2^{-2k/3} a_k \quad\text{if } j_{k-1} < n \le j_k .$ $