Quiere mostrar que $(n+1)f^\lambda=\sum_{\mu\succ \lambda}f^\mu$, en otras palabras, que dado un elemento $i\in\{1,2,\ldots,n+1\}$ y un estándar de representación de la forma $\lambda$ usted puede construir un tableau de alguna forma obtenida por la adición de una sola plaza a la forma, y lo hace en un bijective (reversible). Usted puede volver a numerar las entradas de tableau monótonamente para que contenga todos los números de $\{1,2,\ldots,n+1\}\setminus\{i\}$. Entonces, lo que están pidiendo es exactamente alcanzado por Schensted de inserción.
De hecho, esta es fácil de probar directamente, véase el Lema 1.3.1. de este documento, que da la siguiente prueba por inducción sobre $n=|\lambda|$. Desde $f^{(0)}=f^{(1)}=1$ la partida de casos $n=0$ es ACEPTAR. Ahora asumiendo $n>0$ $$
(n+1)f^\lambda =f^\lambda+n\sum_{\mu\prec\lambda}f^\mu =f^\lambda + \sum_{\mu\prec\lambda}\sum_{\nu\e\mu}f^\nu
$$
por inducción (donde la primera igualdad se remite a $f^{\lambda} = \sum_{\mu\prec\lambda}f^\mu$, consecuencia del hecho de que el estándar de cuadros vivos de la forma $\lambda$ están en bijective correspondencia con el estándar de cuadros vivos de todas las formas $\mu$ tal que $\mu\prec\lambda$; esta correspondencia está dada por la reducción del cuadrado que contiene $n$). En la doble sumatoria podemos distinguir los términos de $\nu=\lambda$, de los cuales hay $\#\lambda^-$ donde $\lambda^-=\{\,\mu\mid\mu\prec\lambda\,\}$, y los términos con $\nu\neq\lambda$. El último $\nu$ se obtienen mediante la extracción de una plaza y la adición de una diferente de la plaza a la forma; esto también puede hacerse en el orden inverso dando primero una forma de $\kappa\succ\lambda$ y, a continuación,$\nu\prec\kappa$. La definición de $\lambda^+=\{\,\mu\mid\mu\succ\lambda\,\}$ ha $\#\lambda^+=\#\lambda^-+1$, ya que para cada plaza que nos puede quitar de la forma hay una plaza que se puede agregar a la forma en la siguiente fila, y también podemos agregar siempre una plaza a la primera fila. Ahora escribir nuestra expresión como
$$
(1+\#\lambda^-)f^\lambda
+\sum_{\mu\prec\lambda}\sum_{\estilo de texto{\nu\e\mu\cima\nu\neq\lambda}}
f^\nu
=\#\lambda^+f^\lambda
+\sum_{\kappa\e\lambda}\sum_{\estilo de texto{\nu\prec\kappa\cima\nu\neq\lambda}}
f^\nu
= \sum_{\kappa\e\lambda}\sum_{\nu\prec\kappa}f^\nu
= \sum_{\kappa\e\lambda}f^\kappa,
$$
donde la última igualdad proviene de la ampliación de un estándar de Jóvenes tableau de la forma $\nu$ a uno de la forma $\kappa$ mediante la adición de la entrada $n+1$ en la única plaza nueva. Esto completa el paso de inducción.
La anterior prueba utiliza exactamente la propreties que hacer Schensted de inserción de la garrapata, es decir, que los Jóvenes de la celosía es un $1$-diferencial poset. De hecho, si uno traduce esta prueba, que se basa totalmente en bijections, en una forma recursiva procedimiento definido para la ampliación de los Jóvenes de cuadros, el resultado del procedimiento es equivalente, en virtud de la natural identificaciones, a Schensted de inserción. Usted puede hacer lo mismo para cualquier diferencial poset, dando lugar a "Schensted" la inserción de los procedimientos para cada uno de ellos. También la estructura de la prueba puede ser hecha evidente por lugar de un procedimiento recursivo, convirtiéndolo en un (Fomin) el crecimiento de la construcción de diagramas de Schensted de inserción, o más precisamente, de la totalidad de Robinson-Schensted correspondencia. De nuevo, esto se extiende a la diferencial de posets.
