Intersección contable de conjuntos conectados

Question

Sea X un espacio topológico.

Dada una secuencia decreciente de subconjuntos cerrados y conectados$J_1\supset J_2 \supset J_3\supset\cdots$, considere$J:=\bigcap_{i=1}^\infty J_i$.

¿Siempre es cierto que$J$ está conectado cuando$X=\mathbb{R}^2$?

Y cuando$X$ es compacto pero no Hausdorff? (Si$X$ es compacto y Hausdorff$J$ está conectado)

Answer 1

Contraejemplo:

Considere la posibilidad de $J_n=(\mathbb R^\times\times \mathbb R)\cup (\{0\}\times (n,\infty))$. Cada una de las $J_n$ está conectado, pero la intersección es $\mathbb R^\times\times\mathbb R$ que está desconectado. Básicamente, cada una de las $J_n$ come un poco más de la conexión, y, finalmente, cada parte de la conexión se consume.

Edit: Una edición a la pregunta que ahora se añade la condición de conjuntos cerrados, que es violado por el ejemplo de arriba. Pero la idea básica puede todavía ser utilizado.

Ahora considere el $J_n = (((-\infty,-1]\cup[1,\infty))\times\mathbb R)\cup ([-1,1]\times [n,\infty))$. No es difícil comprobar que los conjuntos son cerrados y se conecta, pero la intersección es $((-\infty,-1]\cup[1,\infty))\times\mathbb R$ que está desconectado.

Answer 2

Aquí hay un contraejemplo cuando se elimina la suposición de Hausdorff. Permita que$X=[-1,1]\cup\{0'\}$ sea topologizado como la línea con dos orígenes, así que los barrios de$0'$ son barrios de$0$ pero con$0$ reemplazados por$0'$. Tenga en cuenta que$X$ es compacto pero no es Hausdorff, ya que$0$ y$0'$ no tienen vecindarios disjuntos. Dejar $J_n=[-1/n,1/n]\cup\{0'\}$. Entonces cada$J_n$ está cerrado y conectado, pero su intersección es sólo$\{0,0'\}$, que tiene la topología discreta y por lo tanto está desconectada.