Cardinalidad de un conjunto que consiste en todas las cardinalidades existentes

Question

He echado un vistazo a los siguientes temas:

número de conjuntos infinitos con diferentes cardinalidades

La cardinalidad de todas las cardinalidades

Hay uncountably infinito órdenes de infinito?

Tipos de infinito

Pero todavía no se puede encontrar/entender la respuesta.

1) ¿Cuál es la manera más fácil de probar (si es posible, sin el uso de los números ordinales etc. como mi actual entendimiento de las matemáticas de la teoría de conjuntos cuenta sólo los cardenales, y contables & innumerables conjuntos) que el número de cardinalidades que existe, no es una contables (es decir, no se puede poner en bijection con N)?

2) ¿Qué significa exactamente que el conjunto de todos los cardenales es tan grande que ni siquiera es un conjunto, sino una clase? ¿De dónde contradicción que no le permite ser un conjunto surgir? He leído que Pete notas en http://math.uga.edu/~pete/settheorypart1.pdf, pero no estoy muy seguro de cómo #20 conduce a esa conclusión.

Muchas gracias!

Answer 1

No hay un "número de cardinalidades". Como dices, hay muchos que no pueden formar un conjunto.

Supongamos que ${\mathcal A}$ es un conjunto cuyos elementos son conjuntos, con la propiedad de que si $A,B\in{\mathcal A}$$A\ne B$,$|A|\ne|B|$, es decir, $A,B$ tienen diferentes cardinalidades. Deje $C=\bigcup{\mathcal A}$, es decir, $C=\bigcup_{A\in{\mathcal A}}A$. Claramente, $|C|\ge|A|$ por cada $A\in{\mathcal A}$. Deje $D={\mathcal P}(C)$ ser el juego de poder de $C$. A continuación, $|D|>|C|$ $|D|>|A|$ cualquier $A\in{\mathcal A}$. Esto demuestra que existe no puede ser un conjunto de todas las cardinalidades, porque dado cualquier conjunto, sólo hemos encontrado un nuevo cardinalidad diferente de todos los que están en el conjunto.

Por supuesto, si ${\mathcal A}$ es contable, esto demuestra que el "número" de cardinalidades no es contable.

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Hay una pequeña observación que vale la pena hacer. El argumento funciona igual de bien si no requerimos que todos los conjuntos en ${\mathcal A}$ tienen diferentes cardinalidades, sino simplemente que para cualquier prescrito cardinalidad queremos considerar, hay al menos un set en ${\mathcal A}$ de ese tamaño (pero puede que a más de uno). Esto es un poco más general, pero también hay una ventaja técnica, es decir, en esta forma, el argumento no depende de alguna versión del axioma de elección.

(Finalmente: acabo de comprobar que Pete agradable nota que está vinculado en el cuerpo de la pregunta. Su hecho 20 no es, esencialmente, el argumento que he mostrado aquí.)