Pregunta sobre Lie Groups

Question

Estoy teniendo problemas con la siguiente cuestión de álgebra de mentira. Apreciaré cualquier ayuda grandemente.

Cualquier homomorfismo de grupo de Lie$\phi : G \rightarrow H$ es determinado por el homomorfismo de álgebra de Lie inducido$d\phi : \mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{h}.$

Answer 1

El derivado $d\phi$ determina la $\phi$ en un barrio de la identidad de $G$. La imagen de $\phi$ sobre el subconjunto de $G$ cubierto por un parámetro subgrupos puede ser dada en forma explícita en términos de $d\phi$, utilizando la fórmula $\phi (\exp(tX)) = \exp (t\, d\phi (X))$$X \in \mathfrak{g}$. Si $G$ está conectado, a continuación, cualquier elemento de $G$ se puede escribir como un producto de los elementos de un parámetro subgrupos, por lo que en este caso $d\phi$ determina la $\phi$.

Sin embargo, si $G$ no está conectado, a continuación, $\phi$ no está determinado por $d \phi$. Por ejemplo, si $G$ es un grupo discreto, a continuación,$\mathfrak{g} = 0$, lo $d \phi$ no puede dar ninguna información útil.