Supongamos que $A,B \in M_n( \mathbb {C})$ de tal manera que $AB-BA=A $ . Demuestra que $A$ no es invertible.
Mi trabajo:
Supongamos que $A$ es invertible. Entonces $ABA^{-1}=I+B$ . Así que $B$ es similar a $I+B$ que $B$ tienen valores propios $c_1,c_2..c_n \in \mathbb {C}$ así que $B$ tiene una base tal que $B$ es triangular superior con respecto a ella y tiene $c_1..c_n$ como entradas diagonales . Es fácil ver que $I+B$ es superior-triangular con respecto a esta base y tiene entradas $1+c_1,..1+c_n$ .
Por lo tanto $c_1+c_2+..c_n=trace (B)=trace (I+B)=(1+c_1)+..+(1+c_n)=n+c_1+..c_n $ . Así que $n=0$ . Contradicción.
No estoy seguro de que mi solución sea la correcta. Parece que está bien. Le agradecería que me confirmara que la prueba es correcta. Cualquier otra solución posible es bienvenida.
