Aquí están comentarios en tus tres preguntas:
(1) "a partir De un ingenuo punto de vista" me gustaría interpretar este comentario en el sentido topológico, finito de conjuntos son topológicamente muy diferente a la Mentira de los grupos, que son diferenciables colectores.
(2) Bien para una cosa, el estudio de la teoría de la representación ( $\mathbb{C}$ ) de los grupos finitos es una cuestión de subgrupos finitos de $\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})$.
Entonces lo que yo personalmente se preocupa más: además de la alternancia de los grupos, casi todos los finitos simples grupos son finitos, grupos de Lie tipo. Estos surgen como grupos que son análogos a Mentir grupos, por ejemplo, $\operatorname{SL}_n(\mathbb{C})$ $\operatorname{SL}_n(\mathbb{R})$ son análogas a las $\operatorname{SL}_n(\mathbb{F}_q)$ (donde $\mathbb{F}_q$ es un campo finito de orden $q$).
La estructura de estos finitos Mentira grupos se estudia en mucho la misma manera: nos tienen sistemas de raíces, la máxima tori, Borel subgrupos, parabólica subgrupos, etc. La teoría de la representación es más complicado, pero aún es análoga en cierto sentido. Por ejemplo, el finito-dimensional representaciones irreducibles $\rho: \operatorname{SL}_n(\mathbb{C}) \rightarrow \operatorname{GL}_{d}(\mathbb{C})$ están determinados por sus "altos pesos", y lo mismo para para un finito-dimensional absolutamente irreductible representaciones $\rho: \operatorname{SL}_n(\mathbb{F}_q) \rightarrow \operatorname{GL}_{d}(\mathbb{F}_q)$.
También, los resultados establecidos para Lie y álgebras de Lie grupos de más de $\mathbb{C}$ a menudo nos ayudan con los resultados para los grupos finitos de la Mentira de tipo (a veces, incluso, por el contrario, creo).
(3) Demasiado vago para decir mucho, pero es cierto que, sobre todo para grupos finitos de la Mentira, la tipología, la teoría de la representación está estrechamente relacionado con el de la Mentira de los grupos. Incluso hoy en día, todavía hay muchas preguntas abiertas aquí.
