Voy a tratar de compartir mi conocimiento sobre este tema. Para empezar, estoy de acuerdo con @Eric Wofsey: Local anillos son locales con respecto a la topología de Zariski, pero que no son locales con respecto a la costumbre de la topología Euclidiana (y nuestra intuición).
Topología de Zariski es muy grueso: ninguna bola en la topología Euclidiana es la contenida en el complemento de un abierto Zariski. Por lo tanto, la información que un abierto Zariski lleva alrededor de toda la variedad es muy fuerte. Por otro lado, un complejo colector de siempre puede ser cubierto por un atlas de polydisks (por lo tanto, si miramos lo suficientemente cerca en la distancia Euclídea topología, todos los colectores tienen el mismo aspecto). Es por eso que en la geometría algebraica muy a menudo nos fijamos en birational clases de variedades (es decir, las variedades de $X$ $Y$ tener isomorfo Zariski abrir conjuntos de $U_X$$U_Y$). Por ejemplo, si nos fijamos en un subconjunto abierto de $\mathbb{P}^n$, podemos ver que hay muchas líneas de isomorfo a $\mathbb{A}^1$ en allí. Por otro lado, si nos fijamos en el conjunto abierto de un abelian variedad (es decir, un complejo de toro, que es definido por ecuaciones algebraicas en algunos proyectiva del espacio), nunca vamos a encontrar una curva isomorfo a $\mathbb{A}^1$ en allí. Así que, no importa cuán cerca nos fijamos en la topología de Zariski, siempre podemos distinguir los proyectiva del espacio de una abelian variedad.
El anillo local $\mathcal{O}_{X,p}$ a un punto de $p \in X$ es local en la topología de Zariski de la construcción: es el límite proyectivo de la información transmitida por cada conjunto abierto que contiene a $p$. Por ejemplo, supongamos $X=Bl_q \mathbb{P}^2$, el golpe de la proyectiva del avión en el punto de $q$. Suponga que $p \neq q$ es otro punto en $\mathbb{P}^2$. Entonces, podemos considerar $p$ como un punto en $X$, sólo identificar al abrir conjuntos de $\mathbb{P}^2 \setminus \lbrace q \rbrace$ y el conjunto abierto $X \setminus E$ donde $E$ es el excepcional curva de la blow-up. Por lo tanto, tenemos $\mathcal{O}_{X,p}=\mathcal{O}_{\mathbb{P}^2,p}$, es decir, el anillo local en $p$ es local suficiente para olvidarse de birational modificación que sucede fuera de ella.
Por otro lado, un anillo local es bastante global desde el punto de vista de la topología Euclidiana. Como se mencionó antes, birational variedades son de la misma hasta cerca de los subconjuntos que en la topología Euclidiana tiene medida de Lebesgue 0. Ahora, uno puede mostrar que dos variedades son birational si y sólo si el campo de sus funciones racionales son isomorfos.
Ahora, arreglar una variedad $X$, y un anillo local $( \mathcal{O}_{X,p},\mathfrak{m}_p )$ en algún punto de $p \in X$. Por la construcción (mira en el afín caso), el campo de función $k(X)$ de la variedad $X$ es la localización en el ideal maximal $\mathfrak{m}_p$$\mathcal{O}_{X,p}$. Así, tenemos que un anillo local detecta la birational clase de $X$, y por lo tanto toda la geometría de $X$ de descuento en un conjunto de medida de Lebesgue 0.
