Números primos gemelos por un matemático amateur

Question

Hace unos 20 años en una librería de Tokio me encontré con un libro titulado "el Doble de los números Primos" por Seiji Yasui, un aficionado matemático. Insistió en que él demostró la infinidad de dos números primos. La prueba se adjunta al libro, pero no puedo entenderlo. Espero que la prueba o refutación de la siguiente por otra persona. Me han confirmado sus verdades numéricamente $\leq 3000$.

Su propuesta:

Deje $ n $ ser un número natural. Denotar de la siguiente manera.
$\pi (n) = $ el número de números primos $ \leq n$.
$G(n) = $ el número de compuestos de $ \leq n$.
$\pi_2(n) =$ el número de camas de los números primos $ \leq n$.
$G_2(n) = $ el número de camas de los composites $ \leq n$.

1. Yasui de la identidad:
   $$G(n) - G_2(n) = \pi(n) - \pi_2(n) +c.$$ $$c = 0 \text{ or } -1.$$

2. Yasui $1^\text{st}$ la desigualdad: $$G_2(n) > G(G(n)).$$

3. Yasui $2^\text{nd}$ la desigualdad: $$\pi_2(n) > \pi(n) - \pi(G(n)).$$

A continuación, $$\pi_2(n) > n /(\log(n))2.$$

Este es un ejemplo:

Código de Mathematica aquí:

 G2[x]>G[G[x]]

array\[Pi]1[i_] := Select[Range[2, i], PrimeQ[#] &];
arraygn[i_] := Complement[Range[2, i], array\[Pi]1[i]];
int[i_] := Intersection[arraygn[i], arraygn[i] + 2];

ax1 = ListPlot[Table[Length[int[i]], {i, 2, 3000}], 
  AxesLabel -> {"n", "G2(n)"}, PlotLabel -> "Twin Primes", PlotStyle -> Red]
bx1 = ListPlot[Table[Length[arraygn[Length[arraygn[i]]]], {i, 2, 3000}], 
  AxesLabel -> {"n", "G(G(n))"}, PlotLabel -> "Twin Primes", 
  PlotStyle -> Blue]

fig1 = Show[ax1, bx1, AxesLabel -> {"n", "G2(n)(Red),G(G(n))(Blue)"}, 
  PlotLabel -> "Twin Primes"]

    Pi2[n] > Pi[n] - Pi[G[n]]

pi2[i_] := Length[Select[Select[Range[2, i], PrimeQ[#] &], PrimeQ[# + 2] &]];
pi1[i_] := Length[Select[Range[2, i], PrimeQ[#] &]];
gn[i_] := i - Length[Select[Range[2, i], PrimeQ[#] &]];
ax1 = ListPlot[Table[pi2[i], {i, 2, 3000}], AxesLabel -> {"n", "pi2(n)"}, 
  PlotLabel -> "Twin Primes", PlotStyle -> Red]
bx1 = ListPlot[Table[pi1[i] - pi1[gn[i]], {i, 2, 3000}], 
  AxesLabel -> {"n", "pi(n)-pi(G(n))"}, PlotLabel -> "Twin Primes", 
  PlotStyle -> Blue]
cx1 = Plot[x/(Log[x])^2, {x, 2, 3000}, AxesLabel -> {"n", "n/(log(n))^2"}, 
  PlotLabel -> "Twin Primes", PlotStyle -> Green]


fig2 = Show[ax1, bx1, cx1, 
  AxesLabel -> {"n", 
    "pi2(n)(Red), pi(n)-pi(G(n))(Blue), n/(log(n))^2(Green)"}, 
  PlotLabel -> "Twin Primes"]

Answer 1

Respuesta incompleta

La identidad de la primera $G(n)−G_2(n)=\pi(n)−\pi_2(n)+c$ es cierto. Básicamente

• un número es compuesto o principal, excepto $1$: $$G(n) + \pi(n)=n-1$$
• un par de $(m,m+2)$ es doble composites, el doble de los números primos o uno principal compuesto (vamos a decir $k$-pares): $$G_2(n)+\pi_2(n)+k=n-2$$

y $$G(n) - G_2(n) + \pi(n) - \pi_2(n)=k+1 \tag{1}$$

Ahora, vamos a mostrar $$\pi(n)=\pi_2(n)+\frac{k+1-c}{2} \tag{2}$$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \pi(n) \text{ primes}& \pi_2(n) \text{ twin primes pairs} & k \text{ one prime one composite pairs} \\ \hline 2 & & (2,4)\\ \hline 3 & (3,5) & (1,3) \\ \hline 5 & (3,5), (5,7) & \\ \hline 7 & (5,7) & (7,9)\\ \hline 11 & (11,13) & (9,11)\\ \hline 13 & (11,13) & (13,15)\\ \hline ... & ... & ... \\ \hline p_{i-1} & (p_{i-1},p_i) & (p_{i-1}-2,p_{i-1})\\ \hline p_i & (p_{i-1},p_i), (p_i,p_{i+1}) & \\ \hline p_{i+1} & (p_i,p_{i+1}) & (p_{i+1},p_{i+1}+2)\\ \hline ... & ... & ... \\ \hline p_j & & (p_{j}-2,p_j),(p_j,p_{j}+2)\\ \hline p_{j+1} & & (p_{j+1}-2,p_{j+1}),(p_{j+1},p_{j+1}+2)\\ \hline ... & ... & ... \\ \hline p_{\pi(n)} & ... & ...\\ \hline \end{array}$$ o

• cada fila contiene exactamente $2$ pares; $2$ "$\pi_2(n)$ columna", $2$ "$k$ columna" o $1$ "$\pi_2(n)$ " e $1$"$k$". En total $2\pi(n)$ pares.
• para el "$\pi_2(n)$ columna", si $(p_i,p_{i+1})$ es en la "fila $p_i$", a continuación, $(p_i,p_{i+1})$ también está en la "fila $p_{i+1}$". Por lo tanto la columna de $\pi_2(n)$ siempre contiene $2\pi_2(n)$ pares.
• para el "$k$ columna" no hay repetición de pares.

Como resultado $$2\pi(n)=2\pi_2(n) + k + 1-c$$ donde $c$ es $0$ o $1$ a "el balance de la paridad de $k$".

Nota: El original de preguntas para $c$ ser $0$ o $-1$, pero esto es sólo porque yo consideraba $p_1=2$. Preguntas originales ignora $2$.

Ahora, la inyección de $(2)$ $(1)$ $$G(n) - G_2(n) + \pi(n) - \pi_2(n)=2\pi(n)-2\pi_2(n)+c \Rightarrow \\ G(n)−G_2(n)=\pi(n)−\pi_2(n)+c$$