Cálculo de límite de una fracción continua repitiendo

Question

Lo siento si esto es un duplicado. No tengo idea de en qué tipo de "nombre" debo dar a este, y por lo tanto no tengo idea de cómo buscar en el internet para ayudar en la comprensión. Si sucede que este es un duplicado, yo estaría agradecido si usted podría enlace donde hay soluciones para esto.

Tengo que probar para un ejercicio en mi análisis del libro que la siguiente secuencia $$ {\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{5}}},\quad {\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{5+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{5}}}}},\dotsc $$

es monotono y converge a ${\frac{-5+\sqrt{45}}{2}}$

Me imagino que una vez que tengo sobre cómo determinar su límite, será fácil probar que de hecho, es monótono. No tengo idea sobre cómo acercarse a ella, aunque. Algún consejo?

Answer 1

Deje $a_0=0$$a_{n+1}=\cfrac1{1+\cfrac1{5+a_n}}$.

Demostrar por inducción:

1) $a_n<\dfrac{-5+\sqrt{45}}2$

2) $a_{n+1}>a_n$ es decir monotono

De modo que converge y que deben converger para algunos $a'$ tal forma que:

$$a'=\cfrac1{1+\cfrac1{5+a'}}$$

(siéntase libre de preguntar si necesita más consejos sobre los pasos a continuación, pasa el ratón sobre los siguientes consejos de los importantes pasos)

Inducción paso en demostrar 1)

\begin{align}&a_0<\cfrac{-5+\sqrt{45}}2\\&a_{n+1}=\cfrac1{1+\cfrac1{5+a_n}}<\cfrac1{1+\cfrac1{5+\cfrac{-5+\sqrt{45}}2}}=\cfrac{-5+\sqrt{45}}2\end{align}

La inducción de 2)

\begin{align}&a_1>a_0\\&a_{n+1}=\cfrac1{1+\cfrac1{5+a_n}}>\cfrac1{1+\cfrac1{5+a_{n-1}}}=a_n\end{align}

Answer 2

Este es el método de Lagrange y Gauss para esto: la forma cuadrática "reducida" $x^2 + 5x - 5 y^2$ se encuentra en un ciclo muy corto. Observe que el límite es la raíz positiva de $t^2 + 5t-5.$

=========================================
jagy@phobeusjunior:~/old drive/home/jagy/Cplusplus$ ./indefCycle 1 5 -5

  0  form              1           5          -5


           1           0
           0           1

To Return  
           1           0
           0           1

0  form   1 5 -5   delta  -1     ambiguous  
1  form   -5 5 1   delta  5     ambiguous  
2  form   1 5 -5


  form   1 x^2  + 5 x y  -5 y^2 

minimum was   1rep   x = 1   y = 0 disc 45 dSqrt 6  M_Ratio  36
Automorph, written on right of Gram matrix:  
-1  -5
-1  -6
=========================================

Answer 3

Sugerencia : considerar Simplemente la diferencia entre dos sucesivas recurrente de los términos y, a continuación, es fácil mostrar que la sucesión es monótona creciente.
Ahora, $$\frac{1}{5} > 0\\\implies1+ \frac{1}{5} > 1\\\frac{1}{1 +\frac{1}{5}} < 1$$.

El uso de este argumento varias veces y tratar de deducir que la secuencia está acotada arriba por 1 y luego por la monotonía acotado teorema de, usted sabe que no existe un límite de la secuencia. Let it be l. Ahora una rutina de cálculo de los rendimientos de su respuesta.

N. B.: en el fin de mostrar que la sucesión es monótona , supongo que tendrá que demostrar por inducción que $$a_n < \frac{-5 + \sqrt{45}}{2}$$. Y esto también puede ser útil para mostrar que la sucesión está acotada por arriba.