Definir la raíz cuadrada de $z$ al cuadrado y determinar la ubicación de los cortes de las ramas

Question

Me preguntan lo siguiente:

Para $\epsilon > 0$ definimos $$ \sqrt{z^2} = \lim_{\epsilon \to 0} \sqrt{z^2 + \epsilon^2}\,, $$ donde se utiliza la raíz cuadrada del valor principal en el lado derecho. Determine la ubicación de los cortes de rama y demuestre que $\sqrt{z^2} = \text{sign}(\text{Re } z) z$

He probado lo siguiente.

Dejemos que $\epsilon > 0$ y l et $z-i\epsilon = r_1 e^{i\theta_1}$ y $z+i\epsilon = r_2 e^{i\theta_2}$ . Sé que podemos escribir $$f_\epsilon(z) := \sqrt{z^2 + \epsilon^2} = \sqrt{(z-i\epsilon)(z+i\epsilon)} = \sqrt{r_1r_2} e^{i(\theta_1 + \theta_2)/2}\,.$$ Veo que los puntos de ramificación son $i\epsilon$ y $-i\epsilon$ . Ahora, siguiendo el razonamiento hecho en este Pregunta de StackExchange y este de la mano, podemos argumentar que $[-i\epsilon, i\epsilon]$ sería un corte de rama suficiente para hacer $f_\epsilon(z)$ de un solo valor.

El libro define la raíz cuadrada del valor principal mediante un corte de rama a lo largo del eje real negativo, correspondiente a $\sqrt 1 = 1$ . Esto significa que $\sqrt z = \sqrt r e^{\theta i / 2}$ donde $\theta \in (-\pi, \pi]$ el valor principal del argumento, es decir $\text{Arg } z$ .

Por lo tanto, en la definición dada se utiliza la raíz cuadrada como valor principal; $\theta_1, \theta_2 \in (-\pi, \pi]$ . ¿Significa esto que, por ejemplo, el razonamiento sobre rodear $z = i\epsilon$ (y no $z = -i\epsilon$ ), como se hace en la mencionada pregunta de StackExchange; $$\sqrt{r_1}e^{i(\theta_1+2\pi)/2} = \sqrt{r_1}e^{i\theta_1/2}e^{\pi i} = -\sqrt{r_1}e^{i\theta_1/2}\,,$$ no está permitido por los límites de $\theta_1$ ? No estoy muy seguro de si esto significa que estoy obligado a hacer los cortes de rama $[i\epsilon, \infty)$ y $[-i\epsilon, -\infty)$ .

En cuanto a la pregunta de seguimiento; $\sqrt{z^2} = \text{sign}(\text{Re } z) z$ He intentado escribirlo de la siguiente manera: $$ \begin{align*} \sqrt{z^2} &= e^{\log(z^2)/2} \\ &= e^{\frac{1}{2}\left( \ln |z|^2 + i \text{Arg} (z^2) \right)} \\ &= |z|e^{i \text{Arg} (z^2)}\,. \end{align*} $$ Esto significa que tengo que mostrar $e^{i \text{Arg} (z^2)} = \text{sign}(\text{Re } z)e^{i \text{Arg} z}$ que no he podido hacer hasta ahora.

Answer 1

La función $g(z)=\sqrt{(z-a)(z-b)}$ es definible como una función analítica en cualquier dominio $U\subset \mathbb C$ con la propiedad de que $a$ y $b$ se encuentran en la misma componente conexa de $\mathbb C\cup\{\infty\}\setminus U$ . Esto se debe a que $f(z)=\log(\frac{z-a}{z-b})$ es definible como una función analítica en un dominio con la misma propiedad, ya que $f'(z)=\frac{1}{z-a}-\frac{1}{z-b}$ y, por tanto, para toda curva cerrada $\gamma \subset U$ $$ \int_\gamma f'(z)\,dz=\mathrm{Ind}_{\gamma}(a)-\mathrm{Ind}_{\gamma}(b)=0, $$ y en consecuencia, $f$ está bien definida (modulo $2\pi i$ .) Entonces, $g$ es naturalmente definible como $$ g(z)=(z-b)\exp\big(\,f(z)/2\big). $$

Ahora $$f_\varepsilon(z)=\sqrt{z^2+\varepsilon^2}=\sqrt{(z+i\varepsilon)(z-i\varepsilon)} $$ es definible como una función analítica en cualquier dominio $U\subset \mathbb C$ con la propiedad de que $\pm i\varepsilon$ se encuentran en la misma componente conexa de $\mathbb C\cup\{\infty\}\setminus U$ . Las opciones más típicas de $U$ :

$U_{1,\varepsilon}=\mathbb C\setminus[-i\varepsilon,i\varepsilon]$ y

$U_{2,\varepsilon}=\mathbb C\setminus([-i\infty,-i\varepsilon]\cup[i\varepsilon,i\infty])$ .

En particular, $f_{\varepsilon,1}(z):U_{1,\varepsilon}\to\mathbb C$ es impar, mientras que $f_{\varepsilon,2}(z):U_{2,\varepsilon}\to\mathbb C$ es par, ramas elegidas de manera que ambas sean positivas para $z>0$ . (No es totalmente trivial.)

De hecho, $f_2(z)=\lim_{\varepsilon\to 0}f_{\varepsilon,2}(z)$ sigue siendo par, y satisface $$ f_2(z)=\left\{\begin{array}{rl} z & \text{if $\,\,\mathrm{Re}\,z>0$} \\-z & \text{if $\,\,\mathrm{Re}\,z<0$}\end{array}\right. $$