¿Qué es

Question

Ok. Cuando digo "infinito", me refiero a un número infinitamente grande (como $9999999\ldots$)

Todos sabemos que el común de la prueba de $0.999\ldots = 1$.

Si no, aquí está:

$$\begin{align*} x &= 0.999\ldots \\ 10x &= 9.999\ldots \\ 10x-x &= 9x \\ 9.999\ldots - 0.999\ldots &= 9 \end{align*}$$

Por lo tanto, $9x = 9, x = 1$.

Usando esta lógica, se puede demostrar que $0.000\ldots1 = 0$ porque

$$\begin{align*} 1 - 1 &= 0 \\ 1 - 0.999\ldots &= 0.000\ldots1 \end{align*}$$

y desde $1 = 0.999\ldots$, lo que significa que $0 = 0.000\ldots1$.

Ahora, si vamos a tomar cualquier número y la dividimos por un número infinitamente grande, entonces la respuesta sería finalmente consisten $0.000000\ldots1$ (o al menos tiene una serie infinita de ceros antes de un número distinto de uno). Desde $0.000\ldots1 = 0$, esto debe significar que la $\frac{1}{\infty} = 0$.

Es esto correcto?

Answer 1

(Incluso a pesar de que la matemática es incorrecta, +1 para una pregunta!)

Su núcleo malentendido parece ser la definición de $0.999\dots$. Por definición, ese número es igual a $\frac9{10} + \frac9{10^2} + \frac9{10^3} + \cdots$, una serie infinita (lo que equivale a $1$, por la prueba que le dio). Pero mi punto es que tiene una específica definición matemática; no es simplemente "la notación de una idea".

Por otro lado, parece ser el pensamiento de $0.000\dots01$ como una infinita cadena de $0$s seguido por una $1$. Un objeto no tiene ningún significado matemático, y así razonamiento con ella no será válida matemáticamente. Alternativamente, usted podría estar pensando de esa expresión como "¿qué sucede cuando me tome $0.000\dots01$, con un número finito ( $n$ ) $0$s, y deje $n$ más grandes y más grandes". Mientras que yo no uso esa notación para esta idea, la idea en sí es perfectamente válido y conduce a la verdadera hecho matemático $$\lim_{n\to\infty} \frac1{10^n} = 0.$$ En cualquier caso, su ecuación de $1 - 0.999\dots = 0.000\dots1$ no es correcto, porque el número de $0.999\dots$ no tiene ningún últimos$9$, que rinde un $1$ después de la resta.

Answer 2

Todo se puede decir que es

$$\lim_{x\to x_0}f (x)=\infty\implies \lim_{x\to x_0}\frac {1}{f (x)}=0 o

$$\lim_{n\to+\infty}u_n=\infty\implies \lim_{n\to+\infty}\frac {1}{u_n}=0.$$

Si un número se convierte más y más, su recíproco se convierte en más pequeño y más pequeño (obvio).

Answer 3

¿Consideras que $9999999\ldots = 99999999\ldots$? De hecho se parecen ser el mismo número, un decimal infinito de repetición $9$'s. por lo tanto su diferencia de $99999999\ldots - 9999999\ldots = 0$, y:

$$\begin{align*} x &= 9999999\ldots \\ 10x &= 99999999\ldots \\ 10x-x &= 9x \\ 99999999\ldots - 9999999\ldots &= 0 \end{align*}$$

Por lo tanto $9x=0$ y $x=0$. Esto demuestra que $9999999\ldots =0$.

Bonus: desde $\frac1\infty=0$ y $9999999\ldots=\infty$ también conseguimos que $0=\frac1\infty=\frac1{9999999\ldots}=\frac10$.

Answer 4

Infinito no es un número, por lo que no funciona en un ambiente algebraico. Sin embargo ciertamente puede ser tratado como un límite, y

$$\lim_{x \to \infty} \frac1x = 0$$

Answer 5

Las respuestas por encima de los limites de su uso para tratar con los infinitos. Este es el enfoque riguroso para el Cálculo en el que fue formulada en el Siglo 19. Lo que usted está tratando de lograr en la apertura del post me recuerda a Abraham Robinson no estándar en el análisis, desarrollado a mediados del Siglo 20. En este enfoque, el recíproco de un número infinitamente grande es un infinitesimal-un número infinitamente cerca, pero no igual-a cero.

Una lectura muy amena introducción a la no-estándar de análisis pueden ser encontrados aquí. A juzgar por su enfoque al infinito, sospecho que usted puede encontrar la información en los capítulos muy emocionantes.