¿Por qué son importantes las curvas elípticas para la teoría elemental de los números?

Question

Las curvas elípticas (o incluso las variedades abelianas) son herramientas útiles por muchas razones de peso

1. Pueden utilizarse para construir $\ell$ -representaciones de Galois adicas
2. Se pueden encontrar formas automórficas de una curva elíptica con bastante facilidad
3. Hay una buena manera de encontrar leyes de grupo formales usando curvas elípticas
4. Las familias de curvas elípticas proporcionan bonitos ejemplos geométricos para varios fenómenos cohomológicos

Pero, todavía no he aprendido por qué son importantes desde una perspectiva de teoría de números elemental. ¿Por qué los primeros matemáticos "se toparon" con las curvas elípticas y las variedades abelianas para empezar y cómo son útiles para la teoría elemental de los números?

Answer 1

No estoy seguro de las primeras motivaciones para estudiar las curvas elípticas, así que dejaré esa discusión para que otro responda.

En cualquier caso, la factorización de enteros es uno de los problemas más importantes de la teoría de números, sobre todo desde un punto de vista aplicado. Las curvas elípticas facilitan un algoritmo de factorización subexponencial, descubierto en 1985 por Hendrik Lenstra .

Como probablemente ya sepa, los puntos $(x,y)$ que resuelven la curva elíptica sobre un campo dado puede estar dotado de una estructura de grupo . El algoritmo aprovecha este hecho y procede como sigue:

• Elige un número $n \in \mathbb{N}$ que hay que tener en cuenta.
• Elige una curva elíptica al azar $E(\mathbb{Z}_n)$ y un punto $P \in E$ .
• Elija una número suave $e \in \mathbb{N}$ . $m!$ para un pequeño $m$ es una opción habitual.

• Computar $eP$ . Mientras hacemos esto, la forma en que se ha definido la adición nos obliga a calcular la inversa de un elemento módulo $n$ que puede hacerse mediante el algoritmo euclidiano. A medida que avanzamos en este paso, hay tres escenarios que podemos encontrar:

  • Todos los cálculos se podían hacer ya que la inversa mencionada anteriormente se podía calcular con cada adición. En este caso, vuelve al segundo punto anterior y repite todo el proceso con una nueva curva elíptica.

  • Llegamos a $kP = \infty$ para algunos $k \leq e$ . Si esto sucede, vaya al segundo punto anterior y repita.

  • Llegamos a una suma que no se pudo calcular porque la inversa de un elemento $k \in \mathbb{Z}_n$ no existía. Si esto sucede, $k$ y $n$ no son coprimas, lo que significa que $k$ es un factor no trivial de $n$ .

Más información sobre por qué funciona .

Además, si contamos la criptografía como un subconjunto de la teoría de números (aplicada), entonces también se puede utilizar el grupo proporcionado por una curva elíptica para llevar a cabo criptosistemas asimétricos basados en registros discretos como Diffie-Hellman o esquemas de firma digital como ECDSA . La ventaja en este caso es que no se conocen algoritmos para resolver el problema del logaritmo discreto de la curva elíptica en tiempo sub-exponencial, a diferencia del $\mathbb{Z}_p$ el escenario.