¿Por qué puede ' t la fórmula cuadrática simplificarse a $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm(b-2)\sqrt{ac}}{2a}$?

Question

Actualmente estoy tomando álgebra 1 (el escuela del año casi más

Answer 1

Debido a $\sqrt{b^2 - 4ac}\neq 2b\sqrt{ac}$. Digamos por ejemplo que $c = 0$$b\neq 0$. Entonces usted tiene \begin{align*} \sqrt{b^2 - 4ac} &= \sqrt{b^2}\\ &= \left|b\right|\\ &\neq 0, \end{align*} así que usted puede ver que esta simplificación no puede ser correcta.

Parece que en su propuesta de simplificación, se han descarta completamente la resta que ocurren en el radical. Por otra parte, $\sqrt{b^2} = \left|b\right|$, no sólo a $b$. Para ver esto con un ejemplo, tome $b = -1$. A continuación,$\sqrt{(-1)^2} = \sqrt{1} = 1 = \left|-1\right|\neq -1$.

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EDITAR:

De nuevo, la simplificación es incorrecta. Si bien es cierto en general que $\sqrt{a^2b} = \left|a\right|\sqrt{b}$, esta no es la situación en que se encuentran aquí: $$ b^2 - 4ac\neq (b - 2)^2 ac = (b^2 - 4b + 4)ac = b^2 ac - 4abc + 4ac. $$ Parece que han hecho un par de errores aquí (si me voy a tomar una puñalada en el razonamiento detrás de la simplificación): en primer lugar, hemos incorrectamente simplificado $b^2 - 4ac$ $(b^2 - 4)ac$ (lo cual no es cierto, porque el primer término en la antigua no tiene $ac$) y, a continuación, usted ha simplificado $b^2 - 4$$(b - 2)^2$, lo que tampoco es cierto (tome $b = 0$ a ver por qué). En general, $(x + y)^n\neq x^n + y^n$: este es un error común de los estudiantes de álgebra hacer! Recuerde que cuando la expansión $(x + y)^2$, tenemos que utilizar la propiedad distributiva, y no simplemente con respecto cuadrado lineal: \begin{align*} (x + y)^2 &= (x + y)(x + y)\\ &= x^2 + yx + xy + y^2\\ &= x^2 + 2xy + y^2. \end{align*}

Answer 2

La "simplificación" es incorrecta: $\sqrt{b^2-4ac}\not=2b\sqrt{ac}$.

Por ejemplo, tome $b=1, a=c=0$. A continuación, la primera expresión es$1$, pero el último es $0$.

Lo cierto es que $2\vert b\vert\sqrt{ac}=\sqrt{b^2\cdot4ac}$, pero tenga en cuenta la sustitución de "$-$" con "$\cdot$", no: eso es un gran cambio! (Tenga en cuenta también el valor absoluto, que es importante, pero menos fundamental, en este caso).

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EDIT: la pregunta ahora se ha cambiado para reflejar una nueva simplificación, es decir,, $$\sqrt{b^2-4ac}=(2-b)\sqrt{ac}.$$ However, this one is also false: again, set $ a=c=0$, $b=1$ para ver la diferencia.

Observe que en este ejemplo se demuestra realmente que el discriminante no puede (en general) ser escrita en la forma $[stuff]\sqrt{ac}$. Tenga en cuenta que esto se aplica a la nueva edición, que sustituyó a "$b-2$" con "$2-b$" (así como la primera versión) - la "simplificación" todavía es incorrecto, por la misma razón. En cierto sentido, cualquier expresión de la forma en que está mirando a da $a$ $c$ "demasiado poder" sobre el valor; no hay opción de $a$ $c$ puede garantizar que el discriminante es cero, independientemente de lo $b$ es.

Esta vez no es claro para mí lo que el álgebra de error es; ¿puede usted explicar por qué piensa que esta simplificación trabajado? EDIT: Stahl respuesta tiene una puñalada en adivinar lo que pasó; si eso no es una interpretación exacta, por favor explique cómo llegó esta "simplificación."

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ADEMÁS EDIT: he añadido tu razonamiento; se hacen dos errores fundamentales. La esencia de su argumento es $$\sqrt{b^2-4ac}=\sqrt{b^2}-\sqrt{4ac}=(b-2)\sqrt{ac}.$$ Tanto de estas igualdades son falsas.

En el primer caso, nosotros no ha $\sqrt{X+Y}=\sqrt{X}+\sqrt{Y}$, más de lo que tenemos $(X+Y)^2=X^2+Y^2$. Para una explícita contraejemplo, tome $X=Y=2$ donde $\sqrt{X+Y}=\sqrt{4}=2$ pero $\sqrt{X}+\sqrt{Y}=2\sqrt{2}>2$.

Para el segundo, es cierto que $\sqrt{b^2}-\sqrt{4ac}=b-2\sqrt{ac}$ (asumiendo $b$ es positivo, que es); sin embargo, esto no es el mismo que $(b-2)\sqrt{ac}$! El paréntesis definitivamente la materia.

Ambos son de la misma "especie" de errores que ambas involucran malentendido de cómo las diversas operaciones algebraicas interactuar el uno con el otro. No se puede reorganizar las operaciones queramos o no: por ejemplo, "agregando, entonces el cuadrado" es muy diferente de la "cuadra", añadiendo a continuación", y así sucesivamente.

Answer 3

Hay una pequeña simplificación que se puede hacer. Vamos a reescribir la ecuación cuadrática como

$$ x ^ 2 + 2B x + C = 0. $$

Entonces la fórmula cuadrática se reduce a

$$ x = -B \pm \sqrt{B^2 - C}, $$

que es un poco más apetecible. Conviene de vez en cuando más en la física.

Answer 4

¿\begin{align} (b-2)\sqrt{ac} & = \sqrt{(b-2)^2} \sqrt{ac} & & \text{ if } b-2\ge 0 \\[10pt] & = \sqrt{(b-2)^2 ac}. \end {Alinee el} equivale a $(b-2)^2ac$ $b^2-4ac\,$?

Si uno piensa que $(b-2)^2$ es lo mismo que $b^2-4$ (y no es) entonces uno tendría $(b-2)^2ac = b^2ac-4ac,$ por lo que todavía no es lo mismo que $b^2-4ac.$

Observe que $\sqrt{5^2 - 3^2} = 4$ y $\sqrt{5^2}-\sqrt{3^2} = 5 - 3 = 2,$ $\sqrt{5^2-3^2}$ es diferente de $\sqrt{5^2}-\sqrt{3^2}.$

Uno generalmente no debe preguntarse por qué uno no puede hacer cosas como esta; sino más bien si uno puede. No parten de la presunción que se puede hacer. Que pone la carga de la prueba en el lugar equivocado.

Answer 5

(Creo que el post ha sido editado para cambiar la ubicación del error).

Tienes este paso incorrecto (conocido como "elsueño de The Freshman"):

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ $$x=\frac{-b\pm(\sqrt{b^2}-\sqrt{4ac})}{2a}$$

Podemos mostrar por ejemplo que $$\sqrt{a-b} \neq \sqrt{a}-\sqrt{b}$ $ usando un = 25 y b = 16 $$\sqrt{25-16} = \sqrt{9} = 3$ $ $$\sqrt{25}-\sqrt{16} = 5-4 = 1$ $ $$3 \neq 1$ $