Funny(?) Problema de probabilidad

Question

Así que corrí al otro lado de el siguiente problema de hoy en un foro:

"En un intento de reducir el macho de las tasas de natalidad, las feministas se ha aprobado una ley lo que obliga a las familias a dejar de tener hijos después de su primer varón niño. Después de esta ley es aprobada, lo que se espera que la proporción de varones los niños que las niñas?"

No está claro si las familias deberían seguir teniendo hijos hasta que su primer hijo varón, o si se puede detener en cualquier momento anterior, pero vamos a suponer que la anterior. Supongamos también que todo el mundo obedece a la ley, y que ambos sexos tienen igual oportunidad de nacer.

Pensé que tenía una simple solución, porque el problema es lógicamente equivalente para el siguiente proceso:

• Generar N infinito de secuencias aleatorias de los niños y las niñas
• Corte cada secuencia después de la primera aparición de un niño
• Concatenar los resultados y medir la proporción de niños y niñas

Esto es equivalente a la generación de una secuencia aleatoria de niños y niñas, deteniéndose en cada niño, pero luego continuar de nuevo (hasta N veces), por lo que la única diferencia de una normal secuencia aleatoria es que esta secuencia siempre termina con un chico. Sin embargo, si N crece hasta el infinito, parece que este último elemento (el cual nunca puede ser alcanzado) se convierte en irrelevante, por lo que la proporción de niños y niñas debe ser de 1:1 como en una normal infinita secuencia aleatoria. Esto parece perfectamente lógico para mí, pero un par de personas seguía insistiendo en que es un error, despotricar sobre "estimadores sesgados", y afirman que la verdadera proporción será sesgada en favor de las mujeres.

Es mi razonamiento defectuoso? Si es así, ¿por qué?

[EDITAR]

Contrariamente a algunas sugerencias, no creo que esta pregunta es un duplicado. Se pregunta sobre la validez de un determinado enfoque para resolver el problema, no sólo para una solución.

Answer 1

las familias deberían seguir teniendo hijos hasta que su primer hijo varón

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Posibles familias

b (p = 0.5)
gb (p = 0.25)
ggb (p = 0.125)
gggb (p = 0.0625)
ggggb (p = 0.03125)
gg.... (p = 0.5^length)

Así que cada familia siempre tendrá exactamente óne chico seguro (total_p=1). Pero vamos a demostrar que.

Las niñas

La cantidad de niñas que tiene es básicamente:

0.5 * 0
0.25 * 1
0.125 * 2
0.0625 * 3
0...... * 4

La cantidad extra de la chica por n es 0.5^(n+1) * n. Sumando esta fórmula:

Chicos

La cantidad de niños que tienen es similar:

0.5 * 1
0.25 * 1
0.125 * 1
0.0625 * 1
0...... * 1

Por lo que la cantidad extra de niño por n es 0.5^(n+1). Sumando esta fórmula:

Así que la relación es de 1:1!

Answer 2

Un nacimiento es un nuevo macho o una hembra nueva, cada uno con una probabilidad de $1/2$. Este es claramente el caso, independientemente de las leyes o políticas que, por la linealidad de la expectativa a la espera que la proporción de machos a hembras en la población seguirá $1:1$.

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Editar: Si usted no está de acuerdo con el menor simplificación de la suposición de que los niños y las niñas son igualmente probables, simplemente reemplace $1/2$ con algunos fija $p$ $1-p$ , e $1:1$$p:(1-p)$.

Aquí está algo de código JavaScript para simular este para $1$ millones de familias:

var heads = 0;
var tails = 0;
for(var i=0; i<1E6; i++){
   var gotTails = false;
   while(!gotTails){
      if(Math.random() < 0.5){ 
         heads++ 
      }
      else{
         tails++;
         gotTails = true;
      }
   }
}
console.log(heads + "," + tails);

Answer 3

La ley va a cambiar los hábitos sexuales de las personas y el número de hijos, pero no va a cambiar las leyes de la naturaleza. En el modelo asumido son como sigue: se determina el sexo de un niño en el momento de la concepción, y si concepción ocurre la probabilidad de que el niño es un niño es ${1\over2}$, independientemente de circunstancias sociales.

Answer 4

Entiendo que el instinto de argumentar en contra de usted, pero usted tiene razón, la relación debe permanecer 1:1. Para un uso intuitivo razón: considerar el antes y el después para las familias con tres hijos.

Opciones antes de

• bbb
• bbg , del código civil, gbb
• pde , gbg, ggb
• ggg

Total es de 12 niños, niñas de 12

Opciones después de la ley

• b
• b , b, gb
• b , gb, ggb
• ggg

Total es de 7 niñas y 7 niños.

Dos niños da:

• bb
• bg, gb
• gg

vs

• b
• b, gb
• gg

Podríamos continuar con esto a todos los posibles conjuntos y el resultado sería el mismo.

Sin embargo, esto es ignorar la posibilidad de que puede haber algún componente genético (ninguno de los que he oído hablar de, pero posiblemente el caso), que dice que algunas parejas tienen más probabilidades de producir un determinado sexo. Este puede ser el sesgo de la gente está hablando.

Answer 5

Ya que la probabilidad de $k$ de las niñas, a continuación, $1$ masculino es $2^{-k-1}$, el número esperado de $(\text{female},\text{male})$ nacimientos $$ \sum_{k=0}^\infty(k,1)2^{k-1}=\left(1,1\right) $$ Nos están haciendo caso de nacimientos múltiples, o las familias que no pueden tener hijos. Esentially, estamos suponiendo que todas las familias que tienen hijos y que siguen teniendo hijos hasta que tienen un macho.

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Tenga en cuenta que este es el mismo que responder a la pregunta de "lanzar una moneda hasta que llegamos cabezas; cuántas cabezas y cuántas colas ¿esperamos a ver?"