¿Existe una incoherencia entre la Cuántica y la Clásica en la densidad de probabilidad del estado base del oscilador armónico?

Question

Consideremos las densidades de probabilidad para una partícula en el estado de energía más bajo de un oscilador armónico simple. La densidad de probabilidad mecánica cuántica alcanza su punto máximo cerca del punto de equilibrio y se extiende más allá de los límites agudos del movimiento predichos por la física clásica. La densidad de probabilidad clásica es inversamente proporcional a la velocidad clásica y es mayor en los puntos finales del movimiento, donde la velocidad desaparece. Mi pregunta es claramente

_¿Existe una incoherencia entre la Cuántica y la Clásica en la densidad de probabilidad del oscilador armónico en su estado básico? ¿Es la principio de correspondencia ¿es válido aquí?_

Answer 1

El principio de correspondencia es válido en este caso, aunque puede no ser inmediatamente evidente a partir de la observación del modo de orden más bajo del oscilador mecánico cuántico. Los modos de orden superior, por el contrario, empiezan a mostrar esta característica a medida que se incrementa el número cuántico principal n. La siguiente línea de código de Mathematica (tomada de la sección Neat Examples del Plot documentación de la función) representa las amplitudes de probabilidad para el oscilador armónico simple cuántico:

f[n_, x_] := Abs[((1/Pi)^(1/4) HermiteH[n, x])/(E^(x^2/2) Sqrt[2^n n!])]^2

Al trazar una serie de estos (que también se da en la documentación), se obtiene lo siguiente:
_{(fuente: <a href="http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/Files/Plot.en/O_130.gif" rel="nofollow noreferrer">wolfram.com </a>)}

Como puedes ver, a medida que aumentas el número cuántico (mostrado como un aumento de la altura), la densidad de probabilidad empieza a favorecer la región más alejada del origen, como en el caso clásico. De hecho, he representado la amplitud de probabilidad para n=50 que da lo siguiente: Como se puede ver, esto está mucho más cerca de la densidad de probabilidad clásica. Naturalmente, esta tendencia aumenta a medida que pasamos a valores de n aún más altos.

Answer 2

Una respuesta sencilla a su pregunta la proporciona el enlace de Wikipedia que ha dado al principio de correspondencia:

En física, el principio de correspondencia establece que el comportamiento de sistemas descritos por la teoría de la mecánica cuántica (o por la antigua teoría cuántica) reproduce la física clásica en el límite de grandes números cuánticos.

El número cuántico del estado básico del SHO es cero. En consecuencia, aunque, como la respuesta anterior demostró, el principio de correspondencia se mantiene bastante bien, por definición no es necesariamente significativo en el estado básico.

Answer 3

Considera que estás comparando la función de onda del estado básico con el caso clásico de una partícula en movimiento. El caso clásico que se corresponde (en la medida de lo posible) con el estado de reposo sería el oscilador armónico en reposo, una distribución de probabilidad de la función delta. Considere un estado de mayor energía (límite de alto número cuántico) para hacer una mejor comparación. Véase, por ejemplo:

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/quantum/hosc6.html#c2

El artículo enlazado explica cómo la distribución de probabilidad del estado de mayor energía comienza a parecerse cada vez más a la distribución de probabilidad clásica correspondiente.