Función verde dos soluciones preguntas

Question

Tengo problemas con las funciones de Green en electrostática

¿Cuál es el significado de este truco?

Dado $$\vec{\nabla}^2 V(\vec{r}) = \frac{-1}{\varepsilon_0}\rho(\vec{r}) = \frac{-1}{\varepsilon_0} \int \delta ^3(\vec{r}-\vec{r}')\rho(\vec{r}') d^3 \vec{r}' = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \vec{\nabla}^2G(\vec{r},\vec{r}')\rho(\vec{r}') d^3 \vec{r}'.$$

Ya veo $$\vec{\nabla}^2 V(\vec{r}) = \vec{\nabla}^2\left[\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int G(\vec{r},\vec{r}')\rho(\vec{r}') d^3 \vec{r}'\right]$$ y así $$V(\vec{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_V G(\vec{r},\vec{r}')\rho(\vec{r}') d^3 \vec{r}'$$ donde $G$ es una función verde que satisface $$\vec{\nabla}^2 G(\vec{r},\vec{r}') = - 4 \pi \delta(\vec{r} - \vec{r}').$$

¿Por qué no es una solución? Parece que lo es, y además es general (se aplica a elípticas, parabólicas, hiperbólicas), el problema es especificar las condiciones de contorno. Si esto es una solución debería convertirse en lo siguiente de alguna manera fácil y obvia:

Usando las identidades de los Verdes puedo mostrar

$$V(\vec{r}) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int_VG(\vec{r},\vec{r}')\rho(\vec{r}') d^3 \vec{r}' + \frac{1}{4 \pi}\int_{S}\left[G(\vec{r},\vec{r}')\frac{\partial V}{\partial n'} - V(\vec{r})\frac{\partial G}{\partial n'} \ \right] \ dS'$$

¿Por qué faltan los términos adicionales en la primera solución que di?

Se dice que no es una solución porque sobreespecifica las condiciones de contorno, pero una vez que especificamos Dirichlet o Neumann sí se convierte en una. Sin embargo, ¿cuál es la intuición de esta afirmación, la sobreespecificación no nos ayudaría únicamente? Jackson no tiene sentido para mí en este punto.

Answer 1

En el primer método (el de la función de Green) se ha eliminado el operador laplaciano de ambos lados de la ecuación. Esa no es una operación justificada en el caso general, pues el potencial $V$ y la integral de $\rho$ sobre el dominio considerado pueden diferir en alguna función no evanescente $u(x,y,z)$ que obedece a $$ \Delta u = 0. $$ Sólo en un caso especial $u$ puede llegar a desaparecer. Cuando alguna condición de la solución $V$ en el límite de la región, la función $u$ puede no desaparecer.