Para cada función continua $f:R \rightarrow R$ existe una secuencia de funciones analíticas convergente uniformemente a $f$?

Question

Una función de $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ se llama $\mathbb{R}$-analítica de iff para cada $x_0 \in \mathbb{R}$ existe $R>0$ y el poder de la serie de $\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n$ convergente para $|x-x_0|<R$ que $f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n$$|x-x_0|<R$.

Por alguna extraña funciones continuas en $\mathbb{R}$, por ejemplo para Weierstrass continua nondifferentiable función (es decir,$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a^n \cos(b^n \pi x)$$x\in \mathbb{R}$, donde $0<a<1$, $b$ es positivo entero impar tal que $ab> 1+\frac{3}{2}\pi$), existe una secuencia de $\mathbb{R}$-funciones analíticas (incluso toda funciones) que converge a $f$ de manera uniforme (en el caso de la función de Weierstrass es suficiente para tomar la secuencia de la suma parcial de la serie de la definición de esta función).

Es acaso cierto que para toda función continua $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ existe una secuencia de $\mathbb{R}$ analítica de funciones que converge uniformemente a $f$ ?

Answer 1

La prueba de la afirmación parece ser que figuran en el documento

Carleman, T., Sur de la onu théorème de Weierstrass, Arca. Mat., Ast. Fysik 20B (1927), 1-5

un PDF que está disponible (en francés) de esta página. De hecho, él demuestra un poco más. Una simple explicación puede encontrarse en otros trabajos (por ejemplo, aquí, me gustaría publicar más enlaces si tenía más de reputación). De lo que deduzco que demostró es, dada una función continua $f$ y la continuidad de una noción aceptable de "error" (error $\epsilon$ proveniente de la elección de la función constante $\epsilon$), podemos encontrar toda una función de aproximación a la precisión.

Una buena prueba es informado de que se contenía en Conferencias sobre la Compleja Teoría de la Aproximación por D. Gaier, Birkhaussen 1987 en la página 49.