Encuentre la transformada inversa de Laplace de lo siguiente

Question

Encuentra la transformada inversa de Laplace: $$\mathcal L^{-1} \left\lbrace 1\over s^4\right\rbrace$$

Mi intento: He utilizado la ecuación: $$\mathcal L\left\lbrace t^n\right\rbrace={n!\over s^{n+1}}$$
y jugué con algunos números hasta que obtuve una respuesta que funcionó al usar la ecuación anterior. Esto es lo que hice para resolver el problema y no sé si es la forma correcta de resolverlo. Si no lo es, ¿podría alguien ayudarme a resolverlo con el método "correcto"?
$${\frac 16}t^3= {\frac 16}\left(3!\over s^{3+1}\right)={\frac 16}\left(6\over s^4\right)={1\over s^4}$$

¿Trabajar hacia atrás es una forma segura de resolver estos problemas o podría llevarme a veces en la dirección equivocada?

Answer 1

Sí, está bien hacer lo que has hecho. Respondiendo a las preguntas que has planteado de forma sistemática:

1. Encontrar la transformada de Laplace

$$\mathcal L\left\lbrace t^n\right\rbrace={n!\over s^{n+1}} \implies \mathcal L \{t^3\} = \frac{6}{s^4} \implies t^3 = 6\mathcal L^{-1}\left\{\frac{1}{s^4}\right\} \implies $$ $$\implies \mathcal L ^{-1}\left\{\frac{1}{s^4}\right\} = \frac{t^3}{6}$$

La primera relación se puede demostrar utilizando la integración por partes y la inducción.

2. ¿Trabajar hacia atrás es una forma segura de resolver estos problemas o podría llevarme a veces en la dirección equivocada?

No es una forma completamente segura. Esto se debe a que la transformada inversa de Laplace no es una único es decir, podemos tener diferentes funciones que tengan la misma transformada de Laplace, por lo que retroceder en los cálculos puede llevarte a una función que no es la que buscas. Pero hay algunas reglas que hacen que la inversa único tal que hacer lo que has hecho arriba es completamente correcto llevando a la única función deseada. La función tiene que ser de valor real, continua y suave a trozos, de orden exponencial y definida por $\epsilon > 0$ , $\frac{1}{2}\left(f(x_0 + \epsilon)+f(x_0-\epsilon)\right)$ en cada discontinuidad de salto $x_0$ . Las dos funciones de este tipo con la misma transformada de Laplace serán idénticas.

Answer 2

Si aplicas la fórmula inversa de Mellin puedes utilizar el teorema del residuo y entonces tienes el resultado correcto.