Mostrar que $\lim_{n \to \infty}\prod_{k = n}^{2n}\dfrac{\pi}{2\tan^{-1}k} = 4^{1/\pi}$

Question

MathWorld estados que (véase la ecuación $(130)$) $$\lim_{n \to \infty}\prod_{k = n}^{2n}\dfrac{\pi}{2\tan^{-1}k} = 4^{1/\pi}$$ and attributes it to Gosper. I believe an approach to establish the formula is to take logs to get $$\lim_{n \to \infty}\sum_{k = n}^{2n}\log\left(\frac{\pi}{2\tan^{-1}k}\right) = \frac{\log 4}{\pi}$$ Pero no he sido capaz de expresar la LHS como integral. Tal vez algún tipo de manipulación de la LHS es necesario. Cualquier prueba o sugerencias podrían ser de utilidad.

Answer 1

SUGERENCIA: $$ \lim_{n \to \infty}\sum_{k = n}^{2n}\log\left(\frac{\pi}{2\tan^{-1}k}\right)= \lim_{n \to \infty}\sum_{k = n}^{2n}\log\left(\frac{\pi}{2\left(\frac\pi2-\tan^{-1}\frac1k\right)}\right)=\lim_{n \to \infty}\sum_{k = n}^{2n}\log\left(1+\frac{2}{\pi k}\right)$$ due to $$ \tan^{-1}\frac1k=\frac1k+O(\frac{1}{k^3})$$ as $k$ es grande.

Edit: Ya que, por $\alpha>1$, cada una de las series de la forma $$\sum_{k =1}^{\infty}\frac{1}{k^{\alpha}} $$ es convergente, entonces tenemos $$\lim_{n \to \infty}\sum_{k = n}^{2n}O(\frac{1}{k^{\alpha}})=0$$ y se nos permite escribir la segunda igualdad anterior.